|
=== Definició com direccions de corbes ===
Suposant que ''M'' és una varietat C<sup>''k''</sup> ''( k'' ≥ 1) i ''x'' és un punt en ''M''. Es tria un [[Varietat (matemàtiques)#Cartes|carta]] φ : ''U'' → '''R'''<sup>''n''</sup> on ''U'' és un [[conjunt obert|subconjunt obert]] de ''M'' que conté ''x''. Suposeu dues corbes γ<sub>1</sub> : (-1,1) → ''M'' i γ<sub>2</sub> : (-1,1) → ''M'' amb γ<sub>1</sub>(0) = γ<sub>2</sub>(0) = ''x'' són donades tals que φ ∘ γ<sub>1</sub> i φ ∘ γ<sub>2</sub> són les dues diferenciables a 0. Llavors γ<sub>1</sub> i γ<sub>2</sub> s'anomenen ''tangents a 0'' si les derivades ordinàries de φ ∘ γ<sub>1</sub> i φ ∘ γ<sub>2</sub> a 0 coincideixen. Això defineix una [[relació d'equivalència]] en tals corbes, i les [[classes d'equivalència]] es coneixen com els vectors tangents de ''M'' a ''x''. La classe d'equivalència de la corba γ s'escriu com γ'(0). L'espai tangent de ''M'' a ''x'', notat per T<sub>''x''</sub>''M'', es defineix com el conjunt de tots els vectors tangent; no depèn de l'elecció de la carta φ.
[[Fitxer:Tangentialvektor.svg|thumb|deixat|200px|L'espai tangent <math>\scriptstyle T_xM</math> i un vector tangent <math>\scriptstyle v\in T_xM</math>, al llarg d'una corba que passa a través de <math>\scriptstyle x\in M</math>]]
Per definir les operacions de l'espai vectorial en T<sub>''x''</sub>''M'', es fa servir una carta φ : ''U'' → '''R'''<sup>''n''</sup> i es defineix la [[funció matemàtica|funció]] (dφ)<sub>''x''</sub> : T<sub>''x''</sub>''M'' → '''R'''<sup>''n''</sup> per (dφ)<sub>''x''</sub>(γ'(0)) = <math>\scriptstyle\frac{d}{dt}</math>(φ ∘ γ)(0). Resulta que aquesta funció és [[funció bijectiva|bijectiva]] i per tant es pot fer servir per transferir les operacions d'espai vectorial de '''R'''<sup>''n''</sup> cap a T<sub>''x'' </sub>''M'', convertint aquest últim en un espai vectorial real ''n''-dimensional. Una altra vegada, cal comprovar que aquesta construcció no depèn de la carta particular φ escollida, i de fet no en depèn.
=== Definició mitjançant derivades ===
Suposant que ''M'' és una varietat C<sup>∞</sup>. Una [[funció real]] ƒ: ''M'' → '''R''' pertany a C<sup>∞</sup>(''M'') si ƒ ∘ φ<sup>−1</sup> és infinitament diferenciable per a totes les cartes φ : ''U'' → '''R'''<sup>''n''</sup>. C<sup>∞</sup>(''M'') és una [[àlgebra associativa]] real per al [[la funció producte punt a punt]] de funcions, par a la suma de funcions i per a al multiplicació per un escalar.
Triat un punt ''x'' en ''M''. Una ''[[derivada (àlgebra abstracta)|derivada]]'' a ''x'' és una [[aplicació lineal]] ''D'' : C<sup>∞</sup>(''M'') → '''R''' que té la propietat que per a tot el ƒ, ''g'' de C<sup>∞</sup>(''M''):
:<math> D_v(f) = v(f)\,</math>
on ƒ: ''M'' → '''R''' és un element de C<sup>∞</sup>(''M'') .
Si es pensa ''v'' com la direcció d'una corba, ''v'' = γ'(0), llavors s'escriu
{{Principal|Pushforward (derivada)}}
Cada funció diferenciable ''φ'' : ''M'' → ''N'' entre varietats diferenciable indueix [[aplicació lineal|aplicacions lineals]] naturals entre els espais tangent corresponents:
:<math> \mathrm d\varphi_x\colon T_xM \to T_{\varphi(x)}N.</math>
Un resultat important relatiu a la funció derivada és el següent:
: '''Teorema'''. Si ''φ'' : ''M'' → ''N'' és un [[difeomorfisme local]] a ''x'' en ''M'' llavors d''φ'' <sub>''x''</sub> : T<sub>''x'' </sub>''M'' → T<sub>''φ'' (''x'') </sub>''N'' és un [[isomorfisme]] lineal. De forma recíproca, si d''φ'' <sub>''x'' </sub> és un isomorfisme llavors hi ha un [[conjunt obert|veïnatge obert]] ''U'' de ''x'' tal que ''φ'' fa correspondre ''U'' difeomorficmanet a la seva imatge.
Això és una generalització del [[teorema de la funció inversa]] a funcions entre varietats.
== Referències ==
* {{Ref-llibre|first = Peter W.|last = Michor|títol = Topics in Differential Geometry|series = Graduate Studies in Mathematics|volume = Vol. 93|editorial = American Mathematical Society|publication-place = Providence|any = 2008}} (''aparèixer'') .
* {{Ref-llibre|cognom = Spivak |nom = Michael |enllaçautor = Michael Spivak |títol = Calculus on Manifolds |editorial = [[HarperCollins]] |isbn = 978-0-8053-9021-6 |any = 1965}}
== Enllaços externs ==
| 