Diferència entre revisions de la pàgina «Grup abelià finit»

m
Robot: Reemplaçament automàtic de text (- + )
m (Robot: Reemplaçament automàtic de text (-[[Image: +[[Fitxer:))
m (Robot: Reemplaçament automàtic de text (- + ))
[[Évariste Galois]] ([[1811]] [[1832]]) estudia la mateixa qüestió. El [[1831]], fa servir<ref>[[Evariste Galois]] ''Sobre les condicions de resolubilitat de les equacions algèbriques'' 1846 Journal de Liouville</ref> per primera vegada el terme de ''grup formal''. Quinze anys més tard, el matemàtic [[Joseph Liouville]] ([[1809]] [[1882]]) publica aquest article. Durant la segona meitat del [[segle XIX]], l'estudi dels grups finits sembla ser essencial, inicialment per al desenvolupament de la [[teoria de Galois]].
 
No obstant això, calen nombrosos anys per definir aquesta noció de grup formal. Kronecker és un actor d'aquesta axiomatització. Kronecker dóna<ref>[[Leopold Kronecker]] ''Auseinandersetzung einiger Eigenschaften der Klassenzahl idealer complexer Zahlen'' Monatsber. K. Preuss. Akad. Wissenschaft. pp. 881–889 Berlin 1870</ref> el 1870 una definició equivalent a la que es fa servir actualment per a un grup abelià finit. La definició general sovint s'atribueix a Heinrich Weber<ref>[[Heinrich Weber]] ''Lehrbuch der Algebra'' Braunschweig 1896</ref> {{mida|1=([[1842 en science|1842]] [[1913 en science|1913]])}}. ([[1842]] [[1913]]).
 
En [[1853]] [[Leopold Kronecker]] ([[1823]] [[1891]]) enuncia que les [[extensió finita|extensions finites]] dels [[nombres racionals]] que tenen un [[grup de Galois]] abelià són els subcossos de les extensions ciclotòmiques.<ref>[[Leopold Kronecker]] ''Mémoire sur les facteurs irréductibles de l'expression x<sup>n</sup> - 1'' Œuvres Tome 1 p 75 1854</ref> La seva demostració del teorema conegut amb el nom de [[teorema de Kronecker-Weber]] és falsa, caldran les aportacions de [[Richard Dedekind]] ([[1831]] [[1916]]), Heinrich Weber<ref>[[Heinrich Weber]] ''Theorie der Abel'schen Zahlkörper'' Acta Math T VIII et IX 1886 et 1887</ref> i finalment [[David Hilbert]]<ref>[[David Hilbert]] ''Ein neuer Beweis des Kronecker'schen Fundamentalsatzes über Abel'sche Zahlkörper'' Nachr. der K. Ges. der Wiss. zu Gottingen 1896</ref>([[1862]] [[1943]]) per arribar a una demostració rigorosa. Aquest context és el que va portar Kronecker, al seu article de 1870, a demostrar el teorema fonamental dels grups abelians finits que porta ara el seu nom.
 
Per tant, existeix la successió següent isomorfa al grup ''G'':
<center><math>G\approx \mathbb{Z}/a_1\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/a_2\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/a_k\mathbb{Z}</math></center>
 
:* Si la successió (a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,...,a<sub>k</sub>) es tria de tal mena que a<sub>i+1</sub> sigui un divisor de a<sub>i</sub> per a tot i enter entre 1 i k - 1, llavors la successió és única. Els elements d'aquesta successió s'anomenen '''factors invariants'''.
:* '''Existeix un subgrup de ''G'' d'ordre ''d''.'''
Sigui ''g'' l'ordre del grup ''G'', el teorema de Kronecker indica que existeix un isomorfisme entre ''G'' i un producte de cicles:
<center><math>G \approx \prod_i C_i </math></center>
sigui ''c''<sub>i</sub> l'ordre de ''c'', el producte dels ''c''<sub>i</sub> és igual a ''g'', per tant existeix una família d'enters ''d''<sub>i</sub> tal que ''d''<sub>i</sub> és divisor de ''c''<sub>i</sub> i que el producte dels ''d''<sub>i</sub> és igual a ''d''. Existeix un subgrup ''D''<sub>i</sub> de ''C'' d'ordre ''d''<sub>i</sub> ''. El producte dels subgrups ''D''<sub>i</sub> és isomorf a un subgrup de ''G'' d'ordre ''d''.
 
[[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] ([[1805]] - [[1859]]) s'interessa per una conjectura de Gauss i Legendre: tota classe del [[grup de les unitats]] de l'[[anell Z/nZ]] conté una infinitat de nombres primers. [[Leonhard Euler]] ([[1707]] - [[1783]]) proposa un mètode, a través del [[producte d'Euler]] per respondre, tanmateix els nombres primers cercats es localitzen tots en una única classe. Dirichlet fa servir l'anàlisi harmònica per demostrar aquest teorema ara conegut sota el nom de [[teorema de la progressió aritmètica]]. Els seus treballs són els que van donar lloc a la [[teoria analítica dels nombres]].
 
=== Teoria de Galois ===
{{Principal|Teorema d'Abel-Ruffini}}
[[Fitxer:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|right|150px|Carl Friedrich Gauss]]
Força abans dels descobriments de Galois Kronecker i Weber, Gauss havia fet servir un cas particular: l'[[polinomi ciclotòmic|equació ciclotòmica]] d'índex 17 per trobar un mètode de [[construcció amb regle i compàs]] de l'heptadecàgon, és a dir del polígon regular de 17 costats. El fet que el grup de Galois del polinomi sigui abelià és un element essencial del mètode.
 
=== Cos finit ===
{{Principal|Cos finit}}
Un cos finit ''F''<sub>d</sub> es construeix sobre dues estructures de grup diferents, l'additiva (''F''<sub>d</sub>, + ) que és un producte d'un mateix grup cíclic d'ordre un [[nombre primer]] i (''F''<sub>d</sub><sup>*</sup>, . ) que és un grup cíclic.
851.856

modificacions