Grup abelià finit: diferència entre les revisions

[[Évariste Galois]] ([[1811]] [[1832]]) estudia la mateixa qüestió. El [[1831]], fa servir<ref>[[Evariste Galois]] ''Sobre les condicions de resolubilitat de les equacions algèbriques'' 1846 Journal de Liouville</ref> per primera vegada el terme de ''grup formal''. Quinze anys més tard, el matemàtic [[Joseph Liouville]] ([[1809]] [[1882]]) publica aquest article. Durant la segona meitat del [[segle XIX]], l'estudi dels grups finits sembla ser essencial, inicialment per al desenvolupament de la [[teoria de Galois]].

 

 

En [[1853]] [[Leopold Kronecker]] ([[1823]] [[1891]]) enuncia que les [[extensió finita|extensions finites]] dels [[nombres racionals]] que tenen un [[grup de Galois]] abelià són els subcossos de les extensions ciclotòmiques.<ref>[[Leopold Kronecker]] ''Mémoire sur les facteurs irréductibles de l'expression xⁿ - 1'' Œuvres Tome 1 p 75 1854</ref> La seva demostració del teorema conegut amb el nom de [[teorema de Kronecker-Weber]] és falsa, caldran les aportacions de [[Richard Dedekind]] ([[1831]] [[1916]]), Heinrich Weber<ref>[[Heinrich Weber]] ''Theorie der Abel'schen Zahlkörper'' Acta Math T VIII et IX 1886 et 1887</ref> i finalment [[David Hilbert]]<ref>[[David Hilbert]] ''Ein neuer Beweis des Kronecker'schen Fundamentalsatzes über Abel'sche Zahlkörper'' Nachr. der K. Ges. der Wiss. zu Gottingen 1896</ref>([[1862]] [[1943]]) per arribar a una demostració rigorosa. Aquest context és el que va portar Kronecker, al seu article de 1870, a demostrar el teorema fonamental dels grups abelians finits que porta ara el seu nom.

 

Per tant, existeix la successió següent isomorfa al grup ''G'':

 

:* Si la successió (a₁,a₂,...,a_k) es tria de tal mena que a_i+1 sigui un divisor de a_i per a tot i enter entre 1 i k - 1, llavors la successió és única. Els elements d'aquesta successió s'anomenen '''factors invariants'''.

:* '''Existeix un subgrup de ''G'' d'ordre ''d''.'''

Sigui ''g'' l'ordre del grup ''G'', el teorema de Kronecker indica que existeix un isomorfisme entre ''G'' i un producte de cicles:

sigui ''c''_i l'ordre de ''c'', el producte dels ''c''_i és igual a ''g'', per tant existeix una família d'enters ''d''_i tal que ''d''_i és divisor de ''c''_i i que el producte dels ''d''_i és igual a ''d''. Existeix un subgrup ''D''_i de ''C'' d'ordre ''d''_i ''. El producte dels subgrups ''D''_i és isomorf a un subgrup de ''G'' d'ordre ''d''.

 

[[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] ([[1805]] - [[1859]]) s'interessa per una conjectura de Gauss i Legendre: tota classe del [[grup de les unitats]] de l'[[anell Z/nZ]] conté una infinitat de nombres primers. [[Leonhard Euler]] ([[1707]] - [[1783]]) proposa un mètode, a través del [[producte d'Euler]] per respondre, tanmateix els nombres primers cercats es localitzen tots en una única classe. Dirichlet fa servir l'anàlisi harmònica per demostrar aquest teorema ara conegut sota el nom de [[teorema de la progressió aritmètica]]. Els seus treballs són els que van donar lloc a la [[teoria analítica dels nombres]].

 

{{Principal|Teorema d'Abel-Ruffini}}

[[Fitxer:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|right|150px|Carl Friedrich Gauss]]

Força abans dels descobriments de Galois Kronecker i Weber, Gauss havia fet servir un cas particular: l'[[polinomi ciclotòmic|equació ciclotòmica]] d'índex 17 per trobar un mètode de [[construcció amb regle i compàs]] de l'heptadecàgon, és a dir del polígon regular de 17 costats. El fet que el grup de Galois del polinomi sigui abelià és un element essencial del mètode.

 

{{Principal|Cos finit}}

Un cos finit ''F''_d es construeix sobre dues estructures de grup diferents, l'additiva (''F''_d, + ) que és un producte d'un mateix grup cíclic d'ordre un [[nombre primer]] i (''F''_d^*, . ) que és un grup cíclic.