Revisió del 18:54, 13 març 2012 modifica ChuispastonBot (discussió \| contribucions) Bots 36.766 edits m r2.7.1) (Robot afegeix: hu:Szorzatszabály ← Edició anterior		Revisió del 17:05, 16 abr 2012 modifica desfés EVA (bot) (discussió \| contribucions) Bots 851.856 edits m Robot: Reemplaçament automàtic de text (- + ) Edició següent →
Línia 1: A [[càlcul infinitesimal]], la '''regla del producte''' anomenada també '''Llei de Leibniz''' (vegeu [[derivada]]), permet de calcular la derivada del producte de [[funció (matemàtiques)\|funcions]] derivables. Es pot definit així: Línia 11: == Descobriment fet per Leibniz == El descobriment d'aquesta regla és atribuït a [[Gottfried Leibniz\|Leibniz]], que la va demostrat emprant el [[diferencial (càlcul)\|diferencials]]. D'acord amb l'argument de Leibniz's: Siguin ''u''(''x'') i ''v''(''x'') dues funcions diferenciables de ''x''. Llavors el diferencial de ''uv'' és :{\| Línia 38: Suposant que es vol obtenir la derivada de ''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> [[sinus\|sin]](''x''). Emprant la regla del producte s'obté que la derivada és ''f''<nowiki>'</nowiki>(''x'') = 2''x'' sin(''x'') + ''x''<sup>2</sup>cos(''x'') (donat que la derivada de ''x''<sup>2</sup> és 2''x'' i la derivada de sin(''x'') és cos(''x'')). Un cas particular de la regla del producte és la '''regla del producte per una constant''' la qual diu que si ''c'' és un [[nombre real]] i ''f''(''x'') és una funció derivable, llavors ''cf''(''x'') també és derivable, i la seva derivada és (''c'' × ''f'')<nowiki>'</nowiki>(''x'') = ''c'' × ''f''<nowiki> '</nowiki>(''x''). Aixó és el que en resulta de aplicar la regla del producte donat que la derivada de qualsevol constant és zero. Això, combinat amb la regla de la suma de derivades , demostra que la derivació és una [[aplicació lineal]]. *La regla del producte és pot emprar per a obtenir la regla de la [[integració per parts]] i la (versió feble)de la [[regla del quocient]]. (Aquesta és una versió "feble" en el sentit de què no demostra que el quocient sigui derivable, sinó que només diu quina és la seva derivada en cas que ho sigui). == Un error habitual == És un error habitual, en estudiar càlcul, de suposar que la derivada de (''uv'') és igual a (''u''′)(''v''′) (el mateix Leibniz va cometre aquest error al començament); en canvi , és força fàcil de trobar-ne [[contraexemple]]s. El més senzill de tots, s'agafa la funció ''f'', la derivada de la qual és ''f'' '(''x''). Però aquesta funció també es pot escriure com a ''f''(''x'') · 1, donat que 1 és l’[[element neutre]] per a la multiplicació. Suposant que el concepte erroni mencionat abans fos veritat, (''u''′)(''v''′) hauria de ser igual a 0. Això és així perquè la [[derivada d'una constant]] (com ho és 1) es zero i el producte de ''f'' '(''x'') · 0 també és zero. == Demostració de la regla del producte == Una demostració rigorosa de la regla del producte es pot obtenir emprant les propietats del [[límit]] i la definició de derivada. Suposant Línia 52: :<math> h(x) = f(x)g(x),\,</math> I que ''f'' i ''g'' són totes dues derivables al punt ''x''. Llavors :<math>h'(x) = \lim_{w\to x}{ h(w) - h(x) \over w - x} = \lim_{w\to x}{f(w)g(w) - f(x)g(x) \over w - x}. \qquad\qquad(1)</math> Línia 67: :<math> f(x) \Bigg( g(w) - g(x) \Bigg) + g(w)\Bigg( f(w) - f(x) \Bigg).\qquad\qquad(3) </math> (La figura pot estar en desacord amb alguna cassos especials, donat que ''f''(''w'') no cal que sigui més gran que ''f''(''x'') i ''g''(''w'') no cal que sigui més gran que ''g''(''x''). Ara bé, la igualtat de (2) 1 (3) es pot comprovar fàcilment per àlgebra.) Donat que l'expressió de (1) és igual a Línia 73: :<math>\lim_{w\to x}\left( f(x) \left( {g(w) - g(x) \over w - x} \right) + g(w)\left( {f(w) - f(x) \over w - x} \right) \right).\qquad\qquad(4)</math> Si tots quatre límits de (5) que hi ha més aball existeixen, Llavors l'expressió de (4) és igual a :<math> \left(\lim_{w\to x}f(x)\right) \left(\lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x}\right) + \left(\lim_{w\to x} g(w)\right) \left(\lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} \right). \qquad\qquad(5) </math> Ara Línia 97: :<math> \lim_{w\to x} g(w) = g(x)\, </math> perquè ''g'' és contínua a ''x''. Com se sap que ''g'' és contínua a ''x''? Perquè un altre teorema diu que si una funció és derivable a un punt llavors és contínua en aquest punt. Com a conclusió es té que l'expressió de (5) és igual a Línia 118: Aquesta demostració surt a [http://planetmath.org/encyclopedia/LogarithmicProofOfProductRule.html]. Fixeu-vos que donat que ''u'', ''v'' cal que siguin contínues, la suposició de què siguin positives no en disminueix la generalitat. Aquesta demostració descansa en la [[regla de la cadena]] i en les propietats de la funció [[logaritme natural]], les dues són més profundes que la regla del producte. Des de cert punt de vista això és un desavantatge d'aquesta demostració. Per altre banda, la senzillesa de l'algebra per a aquesta demostració poder la fa més fàcil d'entendre que la demostració emprant directament la definició de derivada. == Demostració alternativa: emprant la regla de la cadena == Línia 130: : <math> \begin{align} \frac{d\left( uv \right)}{dx} & {} = \frac{d}{dx}\frac{1}{4}\left[ \left( u+v \right)^{2}\; -\; \left( u-v \right)^{2} \right] \\ \\ & {} = \frac{1}{4}\left[ 2\left( u+v \right)\left( \frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}\; \right)\; -\; 2\left( u-v \right)\left( \frac{du}{dx}-\frac{dv}{dx} \right) \right] \\ \\ & {} = \frac{1}{4}\left[ 4u\frac{dv}{dx}\; +\; 4v\frac{du}{dx} \right]. \end{align}</math> Línia 152: :<math>\frac{d}{dx} \prod_{i=1}^k f_i(x) = \left(\sum_{i=1}^k \frac{\frac{d}{dx} f_i(x)}{f_i(x)}\right) \prod_{i=1}^k f_i(x).</math> === Derivades d'ordre superior === La [[regla de Leibniz (regla del producte generalitzada)\|regla de Leibniz]] és la generalització per a derivades d'ordre superior del producte de dos factors: si ''y'' = ''uv'' i ''y''<sup>(''n'')</sup> indica la derivada ''n''-èssima de ''y'', llavors :<math>y^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} u^{(n-k)}(x)\; v^{(k)}(x).</math> Línia 169: = \sum_S {\partial^{\|S\|} u \over \prod_{i\in S} \partial x_i} \cdot {\partial^{n-\|S\|} v \over \prod_{i\not\in S} \partial x_i}</math> On l'índex ''S'' recorre la llista completa dels 2<sup>''n''</sup> subconjunts de {1, ..., ''n''}. Si això sembla difícil d'entendre, consideris el cas al qual ''n'' = 3: :<math>\begin{align} &{}\quad {\partial^3 \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} (uv) \\ \\ &{}= u \cdot{\partial^3 v \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_1}\cdot{\partial v \over \partial x_2\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_2}\cdot{\partial v \over \partial x_1\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_3}\cdot{\partial v \over \partial x_1\,\partial x_2} \\ \\ &{}\qquad + {\partial^2 u \over \partial x_1\,\partial x_2}\cdot{\partial v \over \partial x_3} + {\partial^2 u \over \partial x_1\,\partial x_3}\cdot{\partial v \over \partial x_2} Línia 180: === Regla del producte en els espais de Banach === Si ''X'', ''Y'', i ''Z'' són [[espai de Banach]] (els quals inclouen l’ [[espai Euclidià]]) i ''B'' : ''X'' × ''Y'' → ''Z'' és un [[operador bilineal]] [[funció contínua (topologia)\|funció contínua]]. Llavors ''B'' és derivable, i la seva derivada al punt (''x'',''y'') de ''X'' × ''Y'' és l'[[aplicació lineal]] ''D''<sub>(''x'',''y'')</sub>''B'' : ''X'' × ''Y'' → ''Z'' donata per :<math> (D_\left( x,y \right)\,B)\left( u,v \right) = B\left( u,y \right) + B\left( x,v \right)\qquad\forall (u,v)\in X \times Y. </math> Línia 193: :<math> {d \over dx} x^n = nx^{n-1} </math> quan ''n'' és un nombre enter positiu (aquesta regla és veritat fins i tot si n no és positiu, diferent de -1, o si no és un enter, però la demostració s'ha de basar en altres mètodes). La demostració es una [[Prova per inducció]] sobre l'exponent ''n''. Si ''n'' = 0 Llavors ''x''<sup>''n''</sup> és constant i ''nx''<sup>''n'' − </sup> = 0. La regla és veritat en aquest cas perquè la derivada d'una funció constant es la funció zero. Suposant que la regla sigui veritat per a un exponent qualsevol ''n'', llavors per al següent valor, ''n'' + 1, es té :<math>\begin{align} {d \over dx}x^{n+1} &{}= {d \over dx}\left( x^n\cdot x\right) \\ \\ &{}= x{d \over dx} x^n + x^n{d \over dx}x \qquad\mbox{(per la regla del producte)} \\ \\ &{}= x\left(nx^{n-1}\right) + x^n\cdot 1\qquad\mbox{(per la hipotesi de induccio)} \\ \\ &{}= (n + 1)x^n. \end{align} </math>

Regla del producte: diferència entre les revisions