Logaritme natural: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m r2.7.1) (Robot afegeix: hu:Természetes logaritmus |
m Robot: Reemplaçament automàtic de text (- + ) |
||
Línia 37:
<big>Si suposem el logaritme com una funció f, es desitja que aquesta compleixi la propietat:
(1)
on x, y i xy pertanyen al domini de ''f''.
Una solució trivial a (1) és la funció 0, que a més es definida a tot R.
Si 0 pertany al domini, i fem <math>y=0</math> a (1)
En canvi, si aquesta funció <math>f(x)</math> no és la funció zero, no pot estar definida en 0.
Si f és una solució de (1), diferent de 0 que conté el punt 1, podrem dir que <math>x = y = 1</math> i obtindrem <math>f(1) = 2f(1)</math>, el que implica que <math>f(1) = 0</math>.
De la mateixa forma si <math>x = y
<math>f(1) = 2f(-1)</math>, es a dir <math>f(-1)= 0</math>
Línia 90:
El nombre ''[[E (constant matemàtica)|e]]'' llavors es pot definir com l'únic nombre real ''a'' tal que ln(''a'') = 1.
De forma alternativa, si primer s'ha definit la [[funció exponencial]] emprant una [[sèrie infinita]], el logaritme natural es pot definir com la seva [[funció inversa]], és a dir, ln(''x'') és una funció tal que <math>e^{\ln(x)} = x\!</math>.
== Propietats ==
Línia 108:
== Derivada, sèries de Taylor ==
[[Fitxer:LogTay.svg|300px|thumb|right|El polinomi de Taylor per<math>\ln (1+x)\,</math> nomes dona aproximaccions acurades pel rang -1 < ''x'' ≤ 1. Noteu que, per ''x'' > 1, el polinomi de
La [[derivada]] del logaritme natural bé donada per
Línia 129:
== El logaritme natural en la integració ==
El logaritme natural permet la [[integració]] senzilla de funcions de la forma ''g''(''x'') = ''f'' '(''x'')/''f''(''x''):
:<math>\ {d \over dx}\left( \ln \left| x \right| \right) = {1 \over x}.</math>
Línia 153:
El logaritme natural es pot integrar fent servir la [[integració per parts]]:
:<math>\int \ln (x) \,dx = x \ln (x)
== Valor numèric ==
Línia 169:
|-
|
|<math>= 2\,y\, \left( \frac{1}{1} + y^{2} \, \left( \frac{1}{3} +
|}
| |||