Aplicació lineal: diferència entre les revisions

En [[matemàtiques]], una '''aplicació lineal''' és un [[morfisme]] entre dos [[espai vectorial|espais vectorials]] que respecta l'operació suma de vectors i la multiplicació escalar definides en aquests espais vectorials, o, en altres paraules que ''preserven les combinacions lineals''.

 

Siguin <math> \mathbf E</math> i <math> \mathbf F</math> dos espais vectorials de dimensió finita, <math>\{u_1, \dots, u_n\}</math> i <math>\{v_1, \dots, v_m\}</math> les seves respectives bases i <math>f:\mathbf E\rightarrow

\mathbf F</math> una aplicació lineal, <math>\ f</math> queda definida si es coneixen les coordenades de <math>f(u_1), \dots, f(u_n)</math> en la base de <math>\mathbf F</math>:

 

<math>f(u_i)=\sum_{j=1}^m \lambda_i^jv_j, i=1, \dots, n</math>

 

<math> \ A </math> S'anomena matriu associada a l'aplicació lineal <math> \ f </math> en les bases <math>\{u_1, \dots, u_n\}</math> i <math>\{v_1, \dots, v_m\}</math>

 

<math>A=\begin{pmatrix}

\vdots & \ddots & \vdots \\

\lambda_1^m & \cdots & \lambda_n^m \end{pmatrix}</math>

 

Aquesta matriu ens permet calcular les coordenades de l' imatge d'un vector:

:<math>\bar{w_j}=\sum_{i=1}^n \lambda_i^j w_i, i=1, \dots, m</math>

:<math>\Rightarrow \bar{w}=A \cdot w</math>

 

=== Composició d'aplicacions lineals ===

Donades dues aplicacions lineals <math>f: \mathbf E \rightarrow \mathbf F</math> i <math>g: \mathbf F \rightarrow \mathbf G</math> (on <math>\{u_1, \dots, u_n\}</math>, <math>\{v_1, \dots, v_m\}</math> i <math>\{w_1, \dots, w_s\}</math> són les bases de <math>\mathbf E</math>, <math>\mathbf F</math> i <math>\mathbf G</math>) amb <math>\ A</math> i <math>\ B</math> com a matrius associades en aquestes bases. Aleshores la matriu <math>C = B \cdot A</math> és la matriu associada a l'aplicació <math>f \circ g</math>

 

 

== Vegeu també ==

* [[Àlgebra lineal]]

* [[Forma lineal]]

 

* {{Ref-llibre|enllaçautor=Manuel Castellet i Solanas|

| cognom = Castellet | nom = Manuel

| publisher = Universitat Autònoma de Barcelona

| year = 2005

 

[[Categoria:Aplicacions lineals| ]]