Diferència entre revisions de la pàgina «Integral impròpia»

cap resum d'edició
m (Robot: Reemplaçament automàtic de text (- + ))
Primer es transforma en una suma d'integrals definides de forma que els extrems dels intervals d'integració coincideixin com a màxim amb un punt singular i que no hi hagi cap punt singular dins dels intervals.
 
Després es defineix el valor d'una integral impròpia sobre un interval amb un punt singular en un dels extrems com el límit de una integral pròpia quant l'extrem tendeix al punt singular pel cantó delde l'interior de l'interval.
Per exemple, si la funció <math>f(x)</math> tendeix a infinit en el punt 3, la integral:
 
:<math>\int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{x}}}dx=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\int_{h}^{1}{\frac{1}{\sqrt{x}}}dx=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left[ 2\sqrt{x} \right]_{h}^{1}=2</math>
 
Existeixexisteix (és convergent).
 
*Un cas de d'integral amb interval infinit:
:<math>\int_{0}^{\infty }{e^{-x}dx=}\underset{h\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\int_{0}^{h}{e^{-x}dx=1}</math>
 
:<math>\lim_{b\to\infty}\int_0^b\frac{dx}{1+x^2}=\lim_{b\to\infty}\arctan{b}=\frac{\pi}{2},</math>
 
Però no ''necessàriament'' s'ha d'interpretar així, també es pot interpretar com la [[integral de Lebesgue]] sobre el conjunt (0, &infin;). En aquest cas no es tractaria d'una integral impròpia (dons sí que està definida i per tant no cal estendre la definició d'integral) i la utilització del límit només seria ununa eina per a calcular el valor que té la integral.
 
En canvi,
==Valor principal de Cauchy==
{{principal|Valor principal de Cauchy}}
La definició d'integral impròpia encara es pot estendre més en el cas en què la integral d'uns subintervals tendeixi a infinit i la d'unauns altres a menys infinit (per tant d'acord amb la definició donada al començament, no existiria la integral impròpia) la suma de límits no existeix, però, de vegades, el límit de la suma si que existeixiexisteix.
 
Aquest és un altre cas d'integrals impròpies "pròpiament dites" (perquè tampoc es poden interpretar com a integrals). Aquest cas té el problema de quèque, depenent de com es calculi el límit, donen valors diferents.
Fixeu-vos en els valors diferents que donen els següents límits:
 
Tots aquests casos són [[indeterminació (matemàtiques)|indeterminacions]] del tipus &infin; − &infin;.
 
Aquestes [[patologia (matemàtiques) |patologies]] no afecten a les funcions que siguin "Lebesgue-integrables", esés a dir, funcions tals que la integral del seu [[valor absolut]] sigui finita.
 
== Enllaços externs ==
Usuari anònim