Integral impròpia: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Robot: Reemplaçament automàtic de text (- + ) |
Cap resum de modificació |
||
Línia 12:
Primer es transforma en una suma d'integrals definides de forma que els extrems dels intervals d'integració coincideixin com a màxim amb un punt singular i que no hi hagi cap punt singular dins dels intervals.
Després es defineix el valor d'una integral impròpia sobre un interval amb un punt singular en un dels extrems com el límit de una integral pròpia quant l'extrem tendeix al punt singular pel cantó
Per exemple, si la funció <math>f(x)</math> tendeix a infinit en el punt 3, la integral:
Línia 37:
:<math>\int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{x}}}dx=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\int_{h}^{1}{\frac{1}{\sqrt{x}}}dx=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left[ 2\sqrt{x} \right]_{h}^{1}=2</math>
*Un cas
:<math>\int_{0}^{\infty }{e^{-x}dx=}\underset{h\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\int_{0}^{h}{e^{-x}dx=1}</math>
Línia 55:
:<math>\lim_{b\to\infty}\int_0^b\frac{dx}{1+x^2}=\lim_{b\to\infty}\arctan{b}=\frac{\pi}{2},</math>
Però no ''necessàriament'' s'ha d'interpretar així, també es pot interpretar com la [[integral de Lebesgue]] sobre el conjunt (0, ∞). En aquest cas no es tractaria d'una integral impròpia (dons sí que està definida i per tant no cal estendre la definició d'integral) i la utilització del límit només seria
En canvi,
Línia 71:
==Valor principal de Cauchy==
{{principal|Valor principal de Cauchy}}
La definició d'integral impròpia encara es pot estendre més en el cas en què la integral d'uns subintervals tendeixi a infinit i la d'
Aquest és un altre cas d'integrals impròpies "pròpiament dites" (perquè tampoc es poden interpretar com a integrals). Aquest cas té el problema
Fixeu-vos en els valors diferents que donen els següents límits:
Línia 100:
Tots aquests casos són [[indeterminació (matemàtiques)|indeterminacions]] del tipus ∞ − ∞.
Aquestes [[patologia (matemàtiques) |patologies]] no afecten a les funcions que siguin "Lebesgue-integrables",
== Enllaços externs ==
| |||