Test de la segona derivada

El criteri de la segona derivada o test de la segona derivada és un teorema o mètode del càlcul matemàtic en el qual s'utilitza la segona derivada per efectuar una prova simple corresponent als màxims i mínims relatius.

Es basa en el fet que si la gràfica d'una funció $f$ és convexa en un interval obert que conté a $c$, i $f'(c)=0,f(c)$ ha de ser un mínim relatiu de $f$. De manera similar, si la gràfica d'una funció és còncava cap avall en un interval obert que conté a $c$ i $f'(c)=0,f(c)$ ha ser un màxim relatiu de $f$.

Teorema

Sigui $f$ una funció tal que $f'(c)=0$ ($c$ és un punt crític) i la segona derivada de $f$ existeix en un interval obert que conté a $c$.

• Si $f''(c)>0$, llavors $f$ té un mínim relatiu en $(c,f(c))$.
• Si $f''(c)<0$, llavors $f$ té un màxim relatiu en $(c,f(c))$.
• Si $f''(c)=0$, llavors $f$ potser tingui en $c$ un màxim relatiu, un mínim relatiu o cap dels dos.

En el cas que $f''(c)=0$, es pot aplicar el test de la primera derivada per determinar si es tracta d'un extrem.

Exemples

• Els punts crítics de la funció $f(x)=3x^{3}-8x^{2}+7x-2$ són $x=1$ i $x=7/9$. La funció és dues vegades derivable en entorns d'aquests punts i la seva segona derivada és $f''(x)=18x-16$. Com que $f''(1)=2>0$ i $f''(7/9)=-2<0$, pel test de la segona derivada, $f$ té un mínim local en $x=1$ i un màxim local en $x=7/9$.

• La funció $f(x)=x^{3}$ és dues vegades derivable en un entorn del punt crític $x=0$ però, $f''(x)=0$. No es pot establir si es tracta o no d'un extrem relatiu aplicant el test de la segona derivada.

Vegeu també

• Criteri de la primera derivada
• Criteri de la tercera derivada
• Extrems d'una funció
• Punt d'inflexió
• Punt crític
• Punt estacionari

Enllaços externs

• Criteri de la Segona Derivada. Universitat Michoacana de Sant Nicolau d'Hidalgo Arxivat 2008-07-12 a Wayback Machine.