Unió llarga de Josephson

En superconductivitat, una unió llarga de Josephson (amb acrònim anglès LJJ) és una unió de Josephson que té una o més dimensions més llargues que la profunditat de penetració de Josephson $\lambda _{J}$. Aquesta definició no és estricta.

Diagrama de la unió Josephson.

Pel que fa al model subjacent, una breu cruïlla de Josephson es caracteritza per la fase Josephson $\phi (t)$, que només és una funció del temps, però no de les coordenades, és a dir, se suposa que la unió de Josephson és puntual a l'espai. En canvi, en una unió llarga de Josephson la fase de Josephson pot ser una funció d'una o dues coordenades espacials, és a dir, $\phi (x,t)$ o $\phi (x,y,t)$.

El model més senzill i el més utilitzat que descriu la dinàmica de la fase Josephson $\phi$ a LJJ és l'anomenada equació sinusoïdal pertorbada de Gordon. Per al cas de 1D LJJ queda:

$\lambda _{J}^{2}\phi _{xx}-\omega _{p}^{-2}\phi _{tt}-\sin(\phi )=\omega _{c}^{-1}\phi _{t}-j/j_{c},$

on els subíndexs $x$ i $t$ denoten derivades parcials respecte a $x$ i $t$, $\lambda _{J}$ és la profunditat de penetració de Josephson, $\omega _{p}$ és la freqüència del plasma de Josephson, $\omega _{c}$ és l'anomenada freqüència característica i $j/j_{c}$ és la densitat de corrent de polarització $j$ normalitzat a la densitat de corrent crítica ${j}_{c}$.

Normalment, per als estudis teòrics s'utilitza l'equació sinusoïdal normalitzada de Gordon:

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9910c4367fcd74d3d2ea55dbae8f0d9a7ae224d3

on la coordenada espacial es normalitza a la profunditat de penetració de Josephson $\lambda _{J}$ i el temps es normalitza a la freqüència inversa del plasma $\omega _{p}^{-1}$. El paràmetre $\alpha =1/{\sqrt {\beta _{c}}}$ és el paràmetre d'amortiment adimensional ($\beta _{c}$ és el paràmetre McCumber-Stewart), i, finalment, $\gamma =j/{j}_{c}$ és un corrent de polarització normalitzat.

Solució particular per:

• Ones de plasma de petita amplitud. $\phi (x,t)=A\exp[i(kx-\omega t)]$
• Soliton (també conegut com fluxon, Josephson vortex):

$\phi (x,t)=4\arctan \exp \left(\pm {\frac {x-ut}{\sqrt {1-u^{2}}}}\right)$

Aquí $x$, $t$ i $u=v/c_{0}$ són la coordenada normalitzada, el temps normalitzat i la velocitat normalitzada. La velocitat física $v$ es normalitza a l'anomenada velocitat de Swihart $c_{0}=\lambda _{J}\omega _{p}$, que representen una unitat típica de velocitat i igual a la unitat d'espai $\lambda _{J}$ dividit per unitat de temps $\omega _{p}^{-1}$