Espiral de Cotes

En física i en matemàtiques de corbes planes, l'espiral de Cotes és una espiral que habitualment s'escriu en una de les tres formes següents:

${\frac {1}{r}}=A\cos \left(k\theta +\varepsilon \right)$

${\frac {1}{r}}=A\cosh \left(k\theta +\varepsilon \right)$

${\frac {1}{r}}=A\theta +\varepsilon$

on r i θ són el radi i l'angle azimutal d'un sistema de coordenades polars, respectivament, i A, k i ε són nombres reals arbitraris constants. Aquestes espirals s'anomenen així en honor de Roger Cotes. La primera forma correspon a un epispiral, i la segona a una espiral de Poinsot; la tercera forma correspon a una espiral hiperbòlica, també coneguda com a espiral recíproca, la qual de vegades no es considera com a espiral de Cotes.

La importància de les espirals de Cotes per a la física és en el camp de la mecànica clàssica. Aquestes espirals són les solucions del moviment d'una partícula que es mou sota l'efecte d'una força central de magnitud proporcional a la inversa del cub de la distància, p. ex.,

$F(r)={\frac {\mu }{r^{3}}}$

On μ és qualsevol nombre real constant. Una força central és una que depén només de la distància r entre la partícula que es mou i un punt fix a l'espai, el centre. En aquest cas, la constant k de l'espiral pot ser determinada a partir de μ i de l'àrea h escombrada per unitat de temps pel vector posición de la partícula segons la fórmula

$k^{2}=1-{\frac {\mu }{h^{2}}}$

Quan μ < h ² (forma cosinus de l'spiral) i

$k^{2}={\frac {\mu }{h^{2}}}-1$

Quan μ > h ² (forma cosinus hiperbòlic de l'espiral). Quan μ = h ² exactament, la partícula segueix la tercera forma de l'espiral

${\frac {1}{r}}=A\theta +\varepsilon .$

Vegeu també

• Espiral d'Arquimedes
• Espiral hiperbòlica

Bibliografia

• Whittaker ET. A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, with an Introduction to the Problem of Three Bodies. 4th ed.. New York: Dover Publications, 1937, p. 80–83. ISBN 978-0-521-35883-5. 

• Roger Cotes (1722) Harmonia Mensuarum, pp. 31, 98.

• Isaac Newton (1687) Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, Book I, §2, Proposition 9.

• Danby JM. «The Case ƒ(r) = μ/r ³ — Cotes' Spiral (§4.7)». A: Fundamentals of Celestial Mechanics. 2nd ed., rev. ed.. Richmond, VA: Willmann-Bell, 1988, p. 69–71. ISBN 978-0-943396-20-0. 

• Symon KR. Mechanics. 3rd ed.. Reading, MA: Addison-Wesley, 1971, p. 154. ISBN 978-0-201-07392-8. 

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W., «Espiral de Cotes» a MathWorld (en anglès).