Fórmula de Jacobi

En càlcul matricial, la fórmula de Jacobi expressa la derivada del determinant d'una matriu (quadrada) A en funció de la seva matriu adjunta i de la seva derivadaː[1]

,

on tr(X) és la traça de la matriu X.

Com a cas especial,

De forma equivalent, si dA representa el diferencial d'A, la fórmula general és

La següent relació útil connecta la traça amb el determinant de l'exponencial de la matriu associada:

La fórmula rep el seu nom del matemàtic Carl Gustav Jacob Jacobi.

AplicacionsModifica

Diverses formes de la fórmula són subjacents a l'algoritme Faddeev–LeVerrier per a calcular el polinomi característic, i té aplicacions explícites en el teorema de Cayley–Hamilton. Per exemple, a partir de l'equació següent:

 ,

i utilitzant  , obtenim:

 ,

on adj denota el matriu adjunta.

ReferènciesModifica

  1. Magnus & Neudecker (1999, pàg. 149–150), Part Three, Section 8.3