Fórmules de Viète

En matemàtiques, més específicament en àlgebra, les fórmules de Viète, anomenades així en honor de François Viète, són fórmules que relacionen les arrels d'un polinomi amb els seus coeficients.

Les fórmulesModifica

Si

 

És un polinomi de grau   amb coeficients complexos (per tant, els nombres   són complexos amb  ), pel teorema fonamental de l'àlgebra    (no necessàriament diferents) arrels complexes   Les fórmules de Viète estableixen que

 

En altres paraules, la suma de tots els possibles productes de   arrels de   (amb els índexs en cada producte en ordre creixent de forma que no hi hagi repeticions) és igual a  

 

Per a cada  

Les fórmules de Viète també es compleixen de forma més general per a polinomis amb coeficients en qualsevol anell commutatiu, en la mesura en què aquest polinomi de grau   tingui   arrels en aquest anell.

ExempleModifica

Per al polinomi de segon grau  , les fórmules de Viète estableixen que les solucions   i   de l'equació   satisfan

 

La primera d'aquestes equacions es pot er servir per a trobar el mínim (o el màxim) de P. Vegeu Equació de segon grau.

DemostracióModifica

Les fórmules de Viète es poden demostrar escrivint la igualtat

 

(que és certa donat que   són totes les arrels d'aquest polinomi), multiplicant els factors del cantó dret, i identificant els coeficients de cada potència de  

ReferènciesModifica

  • Vinberg, E. B.. A course in algebra. American Mathematical Society, Providence, R.I, 2003. ISBN 0821834134. 
  • Djukić, Dušan, i cols.. The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959-2004. Springer, New York, NY, 2006. ISBN 0387242996.