Obre el menú principal

Funció d'una variable complexa diferenciable en sentit real

Aquest article serveix d'introducció a l'article sobre les equacions de Cauchy-Riemann. S'hi defineix les derivades parcials (respecte a o ) i la diferenciabilitat en sentit real de les funcions (de valor complex) d'una variable complexa.


Considerem aquí una funció d'una variable complexa, definida en un obert U de . Emprem les notacions següents :

  • la variable complexa es nota per , on x, y són reals
  • les parts real i imaginària de es noten respectivament per i , és a dir : , on són dues funcions reals de dues variables reals.


Derivades parcials d'una funció d'una variable complexaModifica

Derivades parcials respecte a x i yModifica

Definició : sigui  , on   són reals.

  • diem que f té derivada parcial (primera) al punt   respecte a la variable x, notada per   si existeix el límit (finit)  
  • diem que f té derivada parcial (primera) al punt   respecte a la variable y, notada per   si existeix el límit (finit)  


Propietat :

  • la derivada parcial   existeix si i només si les derivades parcials  ,   existeixen, i aleshores  
  • la derivada parcial   existeix si i només si les derivades parcials  ,   existeixen, i aleshores  

Derivades parcials d'ordre superior :

  • si, per exemple,   existeix en tot punt  , es defineix la funció  
  • si, a més a més, la funció   té derivada parcial primera al punt   respecte a la variable x, la notem per   :  . Semblantment, si existeix  , la notem per  , etc.

Derivades parcials respecte a   i  Modifica

Definició : suposem que f tingui derivades parcials primeres respecte a x i y al punt  . Aleshores, definim :

  •  
  •  

Propietat : en conservar les hipòtesis precedents

  •  
  •  

Diferenciabilitat en sentit real de les funcions d'una variable complexaModifica

Es diu que una funció d'una variable complexa és diferenciable en sentit real, o  -diferenciable en un punt si es pot aproximar localment (a l'entorn d'aquell punt) per la suma d'una constant i d'una funció  -lineal, anomenada diferencial.


  • Definició : diem que una aplicació   és  -lineal si :  .
    • (aleshores :  )


  • Definició : diem que la funció   és  -diferenciable en un punt   si existeixen una aplicació  -lineal   i una funció   d'una variable complexa tals que   quan   i   (suposant que  , on r és el radi d'una bola tal que  ).
    • Quan existeix, l'aplicació L és única (a conseqüència de la propietat següent); s'anomena  -diferencial o diferencial de   en   i es nota habitualment per  .
    • Diem que   és  -diferenciable en U si és  -diferenciable en tot punt de U.


  • Propietat : quan   és  -diferenciable en un punt  , aleshores
    • és contínua en  
    • té derivades parcials primeres en  , i
      •  
      •  .

demostració :

  • continuïtat :   quan   perquè   (la  -diferencial L és un endomorfisme d'un espai vectorial de dimensió finita, per tant és contínua) i  .
  • existència i expressió de les derivades parcials primeres :
    • per a tot u real tal que  ,  ; per tant, si  ,   quan   : això prova l'existència de la derivada parcial de la funció   en   respecte a  , i la igualtat  
    • per a tot v real tal que  ,  ; per tant, si  ,   quan   : això prova l'existència de la derivada parcial de la funció   en   respecte a  , i la igualtat  .


  • Teorema : una condició suficient (no necessària) de  -diferenciabilitat en un punt, o en un obert.
    • si   té derivades parcials primeres respecte a x i y (o a   i  ) en tot punt d'un entorn de  , i si  ,   (o  ,  ) són contínues en  , aleshores   és  -diferenciable en  
    • en particular, si   té derivades parcials primeres respecte a x i y (o a   i  ) definides i contínues en tot punt de U, la funció   és  -diferenciable en U. En aquest cas, es diu que   és  -contínuament diferenciable en U, o de classe   en U.