Funció d'una variable complexa diferenciable en sentit real

Aquest article serveix d'introducció a l'article sobre les equacions de Cauchy-Riemann. S'hi defineix les derivades parcials (respecte a $\ x,y$ o $\ z,{\bar {z}}$) i la diferenciabilitat en sentit real de les funcions (de valor complex) d'una variable complexa.

Considerem aquí una funció $\ f:U\to \mathbb {C}$ d'una variable complexa, definida en un obert U de $\mathbb {C}$. Emprem les notacions següents :

• la variable complexa $\ z$ es nota per $\ x+i\,y$, on x, y són reals
• les parts real i imaginària de $\ f(z)=f(x+i\,y)$ es noten respectivament per $\ P(x,y)$ i $\ Q(x,y)$, és a dir : $\ f(z)=P(x,y)+i\,Q(x,y)$, on $\ P,\,Q$ són dues funcions reals de dues variables reals.

Derivades parcials d'una funció d'una variable complexa

Derivades parcials respecte a x i y

Definició : sigui $\ z_{0}=x_{0}+i\,y_{0}\in U$, on $\ x_{0},\,y_{0}$ són reals.

• diem que f té derivada parcial (primera) al punt $\ z_{0}$ respecte a la variable x, notada per ${\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})$ si existeix el límit (finit) ${\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})=\lim _{u\to 0,\,u\,\in \,\mathbb {R} ^{*}}{\frac {f(z_{0}+u)-f(z_{0})}{u}}$
• diem que f té derivada parcial (primera) al punt $\ z_{0}$ respecte a la variable y, notada per ${\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})$ si existeix el límit (finit) ${\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})=\lim _{v\to 0,\,v\,\in \,\mathbb {R} ^{*}}{\frac {f(z_{0}+i\,v)-f(z_{0})}{v}}$

Propietat :

• la derivada parcial ${\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})$ existeix si i només si les derivades parcials ${\frac {\partial P}{\partial x}}(x_{0},y_{0})$, ${\frac {\partial Q}{\partial x}}(x_{0},y_{0})$ existeixen, i aleshores ${\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})={\frac {\partial P}{\partial x}}(x_{0},y_{0})+i\,{\frac {\partial Q}{\partial x}}(x_{0},y_{0})$
• la derivada parcial ${\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})$ existeix si i només si les derivades parcials ${\frac {\partial P}{\partial y}}(x_{0},y_{0})$, ${\frac {\partial Q}{\partial y}}(x_{0},y_{0})$ existeixen, i aleshores ${\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})={\frac {\partial P}{\partial y}}(x_{0},y_{0})+i\,{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x_{0},y_{0})$

Derivades parcials d'ordre superior :

• si, per exemple, ${\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})$ existeix en tot punt $\ z_{0}\in U$, es defineix la funció ${\frac {\partial f}{\partial x}}:U\to \mathbb {C} ,\,z\mapsto {\frac {\partial f}{\partial x}}(z)$
• si, a més a més, la funció ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ té derivada parcial primera al punt $\ z_{0}$ respecte a la variable x, la notem per ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(z_{0})$ : ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(z_{0})={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)(z_{0})$. Semblantment, si existeix ${\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)(z_{0})$, la notem per ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}(z_{0})$, etc.

Derivades parcials respecte a $\ z$ i $\ {\bar {z}}$

Definició : suposem que f tingui derivades parcials primeres respecte a x i y al punt $\ z_{0}$. Aleshores, definim :

• ${\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{0})={\frac {1}{2}}\,\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})-i\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})\right)$
• ${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})={\frac {1}{2}}\,\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})+i\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})\right)$

Propietat : en conservar les hipòtesis precedents

• ${\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})={\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{0})+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})$
• ${\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})=i\,\left({\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{0})-{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})\right)$

Diferenciabilitat en sentit real de les funcions d'una variable complexa

Es diu que una funció d'una variable complexa és diferenciable en sentit real, o $\mathbb {R}$-diferenciable en un punt si es pot aproximar localment (a l'entorn d'aquell punt) per la suma d'una constant i d'una funció $\mathbb {R}$-lineal, anomenada diferencial.

• Definició : diem que una aplicació $L:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ és $\mathbb {R}$-lineal si : $\forall \,\alpha \in \mathbb {R} ,\forall \,\beta \in \mathbb {R} ,\forall \,z\in \mathbb {C} ,\forall \,w\in \mathbb {C} ,L(\alpha \,z+\beta \,w)=\alpha L(z)+\beta L(w)$.
  • (aleshores : $\forall u\in \mathbb {R} ,\,\forall v\in \mathbb {R} ,\,L(u+i\,v)=uL(1)+vL(i)$)

• Definició : diem que la funció $\ f:U\to \mathbb {C}$ és $\mathbb {R}$-diferenciable en un punt $z_{0}\in U$ si existeixen una aplicació $\mathbb {R}$-lineal $L:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ i una funció $\ \epsilon$ d'una variable complexa tals que $\epsilon (h)\to 0$ quan $h\to 0$ i $f(z_{0}+h)=f(z_{0})+L(h)+h\,\epsilon (h)$ (suposant que $\ |h|<r$, on r és el radi d'una bola tal que $\ B(z_{0},\,r)\subset U$).
  • Quan existeix, l'aplicació L és única (a conseqüència de la propietat següent); s'anomena $\mathbb {R}$-diferencial o diferencial de $\ f$ en $\ z_{0}$ i es nota habitualment per $\ df(z_{0})$.
  • Diem que $\ f$ és $\mathbb {R}$-diferenciable en U si és $\mathbb {R}$-diferenciable en tot punt de U.

• Propietat : quan $\ f$ és $\mathbb {R}$-diferenciable en un punt $\ z_{0}\in U$, aleshores
  • és contínua en $\ z_{0}$
  • té derivades parcials primeres en $z_{0}$, i
    • ${\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})=L(1)=df(z_{0})(1)$
    • ${\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})=L(i)=df(z_{0})(i)$.

demostració :

• continuïtat : $f(z_{0}+h)=f(z_{0})+L(h)+h\,\epsilon (h)\to f(z_{0})$ quan $h\to 0$ perquè $L(h)\to 0$ (la $\mathbb {R}$-diferencial L és un endomorfisme d'un espai vectorial de dimensió finita, per tant és contínua) i $h\,\epsilon (h)\to 0$.
• existència i expressió de les derivades parcials primeres :
  • per a tot u real tal que $\ |u|<r$, $f(z_{0}+u)=f(z_{0})+L(u)+u\,\epsilon (u)=f(z_{0})+uL(1)+u\,\epsilon (u)$; per tant, si $u\neq 0$, ${\frac {f(z_{0}+u)-f(z_{0})}{u}}=L(1)+\epsilon (u)\to L(1)$ quan $u\to 0$ : això prova l'existència de la derivada parcial de la funció $\ f$ en $\ z_{0}$ respecte a $\ x$, i la igualtat ${\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})=L(1)$
  • per a tot v real tal que $\ |v|<r$, $f(z_{0}+i\,v)=f(z_{0})+L(i\,v)+i\,v\,\epsilon (i\,v)=f(z_{0})+vL(i)+i\,v\,\epsilon (i\,v)$; per tant, si $v\neq 0$, ${\frac {f(z_{0}+i\,v)-f(z_{0})}{v}}=L(i)+i\,\epsilon (i\,v)\to L(i)$ quan $v\to 0$ : això prova l'existència de la derivada parcial de la funció $\ f$ en $\ z_{0}$ respecte a $\ y$, i la igualtat ${\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})=L(i)$.

• Teorema : una condició suficient (no necessària) de $\mathbb {R}$-diferenciabilitat en un punt, o en un obert.
  • si $\ f$ té derivades parcials primeres respecte a x i y (o a $\ z$ i $\ {\bar {z}}$) en tot punt d'un entorn de $\ z_{0}\in U$, i si ${\frac {\partial f}{\partial x}}$, ${\frac {\partial f}{\partial y}}$ (o ${\frac {\partial f}{\partial z}}$, ${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}$) són contínues en $\ z_{0}$, aleshores $\ f$ és $\mathbb {R}$-diferenciable en $\ z_{0}$
  • en particular, si $\ f$ té derivades parcials primeres respecte a x i y (o a $\ z$ i $\ {\bar {z}}$) definides i contínues en tot punt de U, la funció $\ f$ és $\mathbb {R}$-diferenciable en U. En aquest cas, es diu que $\ f$ és $\mathbb {R}$-contínuament diferenciable en U, o de classe $\ C^{1}$ en U.