Funció de Bessel-Clifford

En anàlisi matemàtica, la funció de Bessel–Clifford, anomenada en honor de Friedrich Bessel i William Kingdon Clifford, és una funció entera de dues variables complexes que es pot usar per proveir un desenvolupament alternatiu en la teoria de les funcions de Bessel. Si

La funció de Bessel Clifford avaluada a n=3 dividida per 22 com C(3 entre 22,z) de -2-2i a 2+2i

$\pi (x)={\frac {1}{\Pi (x)}}={\frac {1}{\Gamma (x+1)}}$

és la funció entera definida mitjançant la funció gamma recíproca, llavors la funció de Bessel–Clifford es defineix com la sèrie:

${\mathcal {C}}_{n}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\pi (k+n){\frac {z^{k}}{k!}}$

La raó de termes successius és z/k(n + k), que per tot valor de z i n tendeix a zero a mesura que s'incrementa la k. Segons el criteri de d'Alembert, aquesta sèrie convergeix absolutament per tot z i n, i uniformament per totes les regions amb |z| delimitat, i per tant la funció de Bessel–Clifford és una funció entera de les dues variables complexes n i z.

Equació diferencial de la funció de Bessel–Clifford

Derivant respecte x la sèrie superior  ${\mathcal {C}}_{n}(x)$ es satisfà l'equació diferencial lineal homogènia de segon ordre

$xy''+(n+1)y'=y.\qquad$

Aquesta equació és de tipus hipergeomètric generalitzat, i de fet, la funció de Bessel-Clifford és, fins a un cert factor d'escala, una funció hipergeomètrica de Pochhammer–Barnes; es té

${\mathcal {C}}_{n}(z)=\pi (n)\ _{0}F_{1}(;n+1;z).$

A menys que sigui un valor enter negatiu, en què la part de la dreta de la igualtat no queda definit, les dues definicions són essencialment equivalents; la funció hipergeomètrica ha de ser normalitzada perquè el seu valor a z = 0 sigui u.

Relació amb les funcions de Bessel

La funció de Bessel de primer tipus es pot definir en termes de la funció de Bessel-Cliffor com:

$J_{n}(z)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}{\mathcal {C}}_{n}\left(-{\frac {z^{2}}{4}}\right);$

quan n no és enter es pot veure que la funció de Bessel no és entera. De manera similar, la funció de Bessel modificada de primer tipus pot ser definida com:

$I_{n}(z)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}{\mathcal {C}}_{n}\left({\frac {z^{2}}{4}}\right).$

Evidentment, el procediment pot ser revertit, de manera que es pot expressar la funció de Bessel–Clifford com:

${\mathcal {C}}_{n}(z)=z^{-n/2}I_{n}(2{\sqrt {z}});$

però partint d'aquest punt, s'hauria llavors de demostrar que ${\mathcal {C}}$ és una funció entera.

Relació de recurrència

De la definició de la sèrie, es segueix immediatamant que ${\frac {d}{dx}}{\mathcal {C}}_{n}(x)={\mathcal {C}}_{n+1}(x).$

Utilitzant això, es pot reescriure l'equació diferencial per ${\mathcal {C}}$ com:

$x{\mathcal {C}}_{n+2}(x)+(n+1){\mathcal {C}}_{n+1}(x)={\mathcal {C}}_{n}(x),$

que defineix la relació de recurrència per a la funció de Bessel-Clifford. Això és equivalent a una relació similar per ₀F₁. Es té, com un cas especial de la fracció contínua de Gauss:

${\frac {{\mathcal {C}}_{n+1}(x)}{{\mathcal {C}}_{n}(x)}}={\cfrac {1}{n+1+{\cfrac {x}{n+2+{\cfrac {x}{n+3+{\cfrac {x}{\ddots }}}}}}}}.$

Es pot demostrar que aquesta fracció contínua convergeix en tots els casos.

La funció de Bessel–Clifford de segon tipus

L'equació diferencial de Bessel–Clifford

$xy''+(n+1)y'=y\qquad$

té dues solucions linealment independent. Com que l'origen és un punt singular regular de l'equació diferencial, i com que ${\mathcal {C}}$ és enter, la segona solució ha de ser singular a l'origen.

si s'estableix

${\mathcal {K}}_{n}(x)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-t-{\frac {x}{t}}\right){\frac {dt}{t^{n+1}}}$

que convergeix per $\Re (x)>0$, i es continua analíticament, s'obté una segona solució linealment independent a l'equació diferencial.

El factor d'1/2 s'insereix per tal de fer correspondre ${\mathcal {K}}$ a una funció de Bessel de segon tipus. Es té:

$K_{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}{\mathcal {K}}_{n}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right).$

i

$Y_{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}{\mathcal {K}}_{n}\left(-{\frac {x^{2}}{4}}\right).$

En termes de K, es té

${\mathcal {K}}_{n}(x)=x^{-n/2}K_{n}(2{\sqrt {x}}).$

Per tant, com en el cas de la funció de Bessel i la funció de Bessel modificada de primer tipus en què ambdues es poden expressar en termes de ${\mathcal {C}}$, aquestes de segon tipus es poden ambdues expressar en termes de ${\mathcal {K}}$.

Funció de generació

Si es multiplica la sèrie absolutament convergent per exp(t) i exp(z/t) junt, s'obté (quan t no és zero) una sèrie absolutament convergent per exp(t + z/t). Ajuntant els valors amb t, es troba en comparació amb la definició de sèrie de potències per ${\mathcal {C}}_{n}$ que es té:

$\exp \left(t+{\frac {z}{t}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }t^{n}{\mathcal {C}}_{n}(z).$

Aquesta funció de generació es pot llavors usar per obtenir més fórmules, en particular, es pot utilitzar la fórmula de la integral de Cauchy i obtenir ${\mathcal {C}}_{n}$ per n enter com:

${\mathcal {C}}_{n}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {\exp(z+z/t)}{t^{n+1}}}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\exp(z(1+\exp(-i\theta ))-ni\theta ))\,d\theta .$

Referències

• Clifford, William Kingdon «On Bessel's Functions». Mathematical Papers [Londres], 1882, p. 346–349..
• Greenhill, A. George «The Bessel–Clifford function, and its applications». Philosophical Magazine, Sixth Series, 1919, p. 501–528..
• Legendre, Adrien-Marie. Éléments de Géometrie, 1802. .
• Schläfli, Ludwig «Sulla relazioni tra diversi integrali definiti che giovano ad esprimere la soluzione generale della equazzione di Riccati». Annali di Matematica Pura ed Applicata, 2, I, 1868, p. 232–242..
• Watson, G. N.. A Treatise on the Theory of Bessel Functions. Second. Cambridge: Cambridge University Press, 1944. .
• Wallisser, Rolf. «On Lambert's proof of the irrationality of π». A: Algebraic Number Theory and Diophantine Analysis. Berlín: Walter de Gruyer, 2000. ISBN 3-11-016304-7. .