Obre el menú principal

Un grup és cíclic pot ser generat per algun element. Això vol dir que hi ha, almenys, un element g del grup, que es diu generador de manera que tots els elements del grup són de la forma n g (en notació additiva) o gn (en notació multiplicativa), per un cert nombre enter n. Naturalment, 0 = 0 g i g = 1 g (en notació additiva) o i (en notació multiplicativa).

ExemplesModifica

  • L'exemple més obvi és el grup additiu de l'anell   dels nombres enters: es tracta d'un grup cíclic infinit i   i   en són els únics generadors.
  • També són cíclics tots grups additius dels anells   (també escrit ℤ/nℤ) de classes de residu mòdul n, és a dir, de classes de congruència sobre els enters. En aquest cas es tracta de grups finits.
  • En canvi, els grups multiplicatius de les unitats dels anells   són cíclics si, i només si, el nombre   és d'una d'aquestes quatre formes: 2, 4, pk o 2pk. En la teoria de nombres tradicional, els generadors dels grups multiplicatius de les unitats dels anells   es diuen arrels primitives mòdul n.

EstructuraModifica

  • El fet més important quant als grups cíclics és que qualsevol grup cíclic infinit és isomorf al grup additiu de l'anell ℤ dels nombres enters. A més, qualsevol grup cíclic finit d'ordre n és isomorf al grup additiu de ℤ/nℤ de congruències mòdul n.
  • Això implica que l'estudi dels grups cíclics es redueix a l'estudi dels grups additius de ℤ i ℤ/nℤ.
  • D'altra banda, tot grup abelià finitament generat és isomorf al producte directe d'un nombre finit de grups cíclics.

PropietatsModifica

  • De l'isomorfisme mencionat abans en resulta que tot grup cíclic és un grup abelià.
  • Tot grup d'ordre un nombre primer és cíclic.
  • Tots els subgrups d'un grup cíclic són cíclics. Si   és un grup cíclic d'ordre  , aleshores, per cada divisor   de   hi ha exactament un subgrup d'ordre  , el qual, si   és un generador de  , és generat per  . El grup   no té cap altre subgrup d'ordre  .
  • Tot quocient d'un grup cíclic és cíclic.
  • Sigui   és un generador d'un cert grup cíclic   d'ordre  . Aleshores   també n'és un generador si, i només si, hi ha   que fa  . Aleshores  .
  • Si   és un grup cíclic d'ordre  , aleshores té   generadors (  és la funció Fi d'Euler).
  • Siguin   i   dos grups d'ordres respectius   i  . Aleshores,   és cíclic si, i només sí,   i   ho són i  .
  • Tot subgrup finit del grup multiplicatiu d'un cos és cíclic.

ReferènciesModifica