La integració de les funcions racionalsdescomposició en fraccions parcials .
Sia
f
=
P
Q
{\displaystyle f={\frac {P}{Q}}}
polinomis , si el grau de P és més gran que el grau de Q, es divideix P entre Q i s'escriu:
P
Q
=
P
1
+
P
2
Q
{\displaystyle {\frac {P}{Q}}=P_{1}+{\frac {P_{2}}{Q}}}
Llavors es descompon
P
2
Q
{\displaystyle {\frac {P_{2}}{Q}}}
P
2
Q
=
A
n
(
x
−
a
)
n
+
…
+
A
1
(
x
−
a
)
+
…
+
p
m
x
+
q
m
(
(
x
−
r
)
2
+
s
2
)
m
+
…
+
p
1
x
+
q
1
(
x
−
r
)
2
+
s
2
{\displaystyle {\frac {P_{2}}{Q}}={\frac {A_{n}}{\left(x-a\right)^{n}}}+\ldots +{\frac {A_{1}}{\left(x-a\right)}}+\ldots +{\frac {p_{m}x+q_{m}}{\left(\left(x-r\right)^{2}+s^{2}\right)^{m}}}+\ldots +{\frac {p_{1}x+q_{1}}{\left(x-r\right)^{2}+s^{2}}}}
Per a obtenir aquesta descomposició, es troben les arrels de Q, es descompon Q i es planteja una equació on les A, p i q són incògnites, en plantejar que el polinomi
P
2
{\displaystyle P_{2}}
Llavors el problema queda reduït a integrar cada un dels diferents tipus de fraccions que han quedat.
Polinomi de primer grau al denominador
modifica
La substitució u = ax + b , du = a dx transforma la integral
∫
1
a
x
+
b
d
x
{\displaystyle \int {1 \over ax+b}\,dx}
en
∫
1
u
d
u
a
=
1
a
∫
d
u
u
=
1
a
ln
|
u
|
+
C
=
1
a
ln
|
a
x
+
b
|
+
C
.
{\displaystyle \int {1 \over u}\,{du \over a}={1 \over a}\int {du \over u}={1 \over a}\ln \left|u\right|+C={1 \over a}\ln \left|ax+b\right|+C.}
modifica
La mateixa substitució transforma la integral
∫
1
(
a
x
+
b
)
8
d
x
{\displaystyle \int {1 \over (ax+b)^{8}}\,dx}
en
∫
1
u
8
d
u
a
=
1
a
∫
u
−
8
d
u
=
1
a
⋅
u
−
7
(
−
7
)
+
C
=
−
1
7
a
u
7
+
C
=
−
1
7
a
(
a
x
+
b
)
7
+
C
.
{\displaystyle \int {1 \over u^{8}}\,{du \over a}={1 \over a}\int u^{-8}\,du={1 \over a}\cdot {u^{-7} \over (-7)}+C={-1 \over 7au^{7}}+C={-1 \over 7a(ax+b)^{7}}+C.}
Polinomi irreductible de segon grau al denominador
modifica
Suposeu una integral com per exemple
∫
x
+
6
x
2
−
8
x
+
25
d
x
.
{\displaystyle \int {x+6 \over x^{2}-8x+25}\,dx.}
La forma més ràpida de veure que el denominador x ² − 8x + 25 és irreductible és observar que el seu discriminant és negatiu.
Es transforma de la següent manera:
x
2
−
8
x
+
25
=
(
x
2
−
8
x
+
16
)
+
9
=
(
x
−
4
)
2
+
9
{\displaystyle x^{2}-8x+25=(x^{2}-8x+16)+9=(x-4)^{2}+9\,}
La idea és fer la substitució
u
=
x
2
−
8
x
+
25
{\displaystyle u=x^{2}-8x+25\,}
d
u
=
(
2
x
−
8
)
d
x
{\displaystyle du=(2x-8)\,dx}
d
u
/
2
=
(
x
−
4
)
d
x
{\displaystyle du/2=(x-4)\,dx}
Per això caldria tenir x − 4 al numerador. Per això es descompon el numerador en x + 6 en (x − 4) + 10, i s'escriu la integral com a
∫
x
−
4
x
2
−
8
x
+
25
d
x
+
∫
10
x
2
−
8
x
+
25
d
x
.
{\displaystyle \int {x-4 \over x^{2}-8x+25}\,dx+\int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx.}
La substitució porta a:
∫
x
−
4
x
2
−
8
x
+
25
d
x
=
∫
d
u
/
2
u
=
1
2
ln
|
u
|
+
C
=
1
2
ln
(
x
2
−
8
x
+
25
)
+
C
.
{\displaystyle \int {x-4 \over x^{2}-8x+25}\,dx=\int {du/2 \over u}={1 \over 2}\ln \left|u\right|+C={1 \over 2}\ln(x^{2}-8x+25)+C.}
Ara cal resoldre la integral
∫
10
x
2
−
8
x
+
25
d
x
.
{\displaystyle \int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx.}
Es fa:
∫
10
x
2
−
8
x
+
25
d
x
=
∫
10
(
x
−
4
)
2
+
9
d
x
=
∫
10
/
9
(
x
−
4
3
)
2
+
1
d
x
{\displaystyle \int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx=\int {10 \over (x-4)^{2}+9}\,dx=\int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1}\,dx}
I tot seguit la substitució
w
=
(
x
−
4
)
/
3
{\displaystyle w=(x-4)/3\,}
d
w
=
d
x
/
3
{\displaystyle dw=dx/3\,}
Que dona
10
3
∫
d
w
w
2
+
1
=
10
3
arctan
(
w
)
+
C
=
10
3
arctan
(
x
−
4
3
)
+
C
.
{\displaystyle {10 \over 3}\int {dw \over w^{2}+1}={10 \over 3}\arctan(w)+C={10 \over 3}\arctan \left({x-4 \over 3}\right)+C.}
Ajuntant-ho tot,
∫
x
+
6
x
2
−
8
x
+
25
d
x
=
1
2
ln
(
x
2
−
8
x
+
25
)
+
10
3
arctan
(
x
−
4
3
)
+
C
.
{\displaystyle \int {x+6 \over x^{2}-8x+25}\,dx={1 \over 2}\ln(x^{2}-8x+25)+{10 \over 3}\arctan \left({x-4 \over 3}\right)+C.}
modifica
Per exemple
∫
x
+
6
(
x
2
−
8
x
+
25
)
8
d
x
.
{\displaystyle \int {x+6 \over (x^{2}-8x+25)^{8}}\,dx.}
Tal com abans, es parteix x + 6 en (x − 4) + 10, i es tracta la part que conté x − 4 via la substitució
u
=
x
2
−
8
x
+
25
,
{\displaystyle u=x^{2}-8x+25,\,}
d
u
=
(
2
x
−
8
)
d
x
{\displaystyle du=(2x-8)\,dx}
d
u
/
2
=
(
x
−
4
)
d
x
.
{\displaystyle du/2=(x-4)\,dx.}
Això deixa
∫
10
(
x
2
−
8
x
+
25
)
8
d
x
.
{\displaystyle \int {10 \over (x^{2}-8x+25)^{8}}\,dx.}
Tal com abans, s'obté
∫
10
(
x
2
−
8
x
+
25
)
8
d
x
=
∫
10
(
(
x
−
4
)
2
+
9
)
8
d
x
=
∫
10
/
9
8
(
(
x
−
4
3
)
2
+
1
)
8
d
x
.
{\displaystyle \int {10 \over (x^{2}-8x+25)^{8}}\,dx=\int {10 \over ((x-4)^{2}+9)^{8}}\,dx=\int {10/9^{8} \over \left(\left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1\right)^{8}}\,dx.}
Llavors es fa servir la substitució:
tan
θ
=
x
−
4
3
,
{\displaystyle \tan \theta ={x-4 \over 3},\,}
(
x
−
4
3
)
2
+
1
=
tan
2
θ
+
1
=
sec
2
θ
,
{\displaystyle \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1=\tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta ,\,}
d
tan
θ
=
sec
2
θ
d
θ
=
d
x
3
.
{\displaystyle d\tan \theta =\sec ^{2}\theta \,d\theta ={dx \over 3}.\,}
Així la integral esdevé
∫
30
/
9
8
sec
16
θ
sec
2
θ
d
θ
=
30
9
8
∫
cos
14
θ
d
θ
{\displaystyle \int {30/9^{8} \over \sec ^{16}\theta }\sec ^{2}\theta \,d\theta ={30 \over 9^{8}}\int \cos ^{14}\theta \,d\theta }
Aplicant repetidament la fórmula de l'angle meitat
cos
2
θ
=
1
2
+
1
2
cos
(
2
θ
)
{\displaystyle \cos ^{2}\theta ={1 \over 2}+{1 \over 2}\cos(2\theta )\,}
Es pot reduir a una integral que no implica potències del cos θ més grans que la unitat.
Llavors es té el problema de una expressió amb el sin(θ) i el cos(θ) com a funcions de x . Com que
tan
(
θ
)
=
x
−
4
3
,
{\displaystyle \tan(\theta )={x-4 \over 3},}
I la tangent = catet oposat/adjacent. Si el catet "oposat" té la longitud x − 4 i l'"adjacent" té la longitud 3, llavors pel teorema de Pitàgores la hipotenusa té de longitud √((x − 4)² + 3²) = √(x ² −8x + 25).
Per tant es té
sin
(
θ
)
=
o
p
o
s
a
t
h
i
p
o
t
e
n
u
s
a
=
x
−
4
x
2
−
8
x
+
25
,
{\displaystyle \sin(\theta )={\mathrm {oposat} \over \mathrm {hipotenusa} }={x-4 \over {\sqrt {x^{2}-8x+25}}},}
cos
(
θ
)
=
a
d
j
a
c
e
n
t
h
i
p
o
t
e
n
u
s
a
=
3
x
2
−
8
x
+
25
,
{\displaystyle \cos(\theta )={\mathrm {adjacent} \over \mathrm {hipotenusa} }={3 \over {\sqrt {x^{2}-8x+25}}},}
i
sin
(
2
θ
)
=
2
sin
(
θ
)
cos
(
θ
)
=
6
(
x
−
4
)
x
2
−
8
x
+
25
.
{\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )={6(x-4) \over x^{2}-8x+25}.}
