Integral de Jacobi

En astrodinàmica, la integral de Jacobi (o la constant de Jacobi) és l'única quantitat invariant coneguda en el problema dels tres cossos restringit circular.^[1] Rep el nom en honor del matemàtic Carl Gustav Jacob Jacobi. A diferència del problema dels dos cossos, l'energia i la quantitat de moviment del sistema no es conserven de manera separada i una solució analítica general not pot ser obtinguda^{[cal citació]}. La integral de Jacobi s'ha utilitzat en la derivació de solucions en casos especials.

Definició modifica

Sistema sinòdic modifica

Sistema sinòdic

En un sistema sinòdic o corrotacional, la constant de Jacobi s'expressa de la següent manera:

C_{J}=n^{2}(x^{2}+y^{2})+2\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right)-\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)

on:

$n={\frac {2\pi }{T}}$ és el moviment mitjà (T és el període orbital).
$\mu _{1}=Gm_{1}\,\!$ , $\mu _{2}=Gm_{2}\,\!$ , per les dues masses m₁ i m₂, i la constant gravitacional G.
$r_{1}\,\!,r_{2}\,\!$ són distàncies a la tercera massa des de les dues masses majors.

El primer terme fa referència a l'energia potencial centrífuga, el segon representa el potencial gravitatori i el tercer és l'energia cinètica. En el sistema de referència sinòdic, les forces que actuen sobre la partícula són les dues atraccions gravitatòries, la força centrífuga i la força de Coriolis. Donat que les tres primeres forces són derivades de potencials i la força de Coriolis és perpendicular a la trajectòria, totes les forces són conservatives. Per tant, l'energia mesurada en aquest sistema de referència (i, per tant, l'integral de Jacobi) és una constant de moviment.

Sistema sideral modifica

Sistema inercial

En un sistema inercial sideral (ξ, η, ζ), les masses orbiten el baricentre. En aquest sistema, la constant de Jacobi s'expressa de la següent manera:

C_{J}=2\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right)+2n\left(\xi {\dot {\eta }}-\eta {\dot {\xi }}\right)-\left({\dot {\xi }}^{2}+{\dot {\eta }}^{2}+{\dot {\zeta }}^{2}\right).

Derivació modifica

En un sistema corrotacional, les acceleracions poden expressar-se com les derivades d'una sola funció escalar

U(x,y,z)={\frac {n^{2}}{2}}(x^{2}+y^{2})+{\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}

Emprant una representació lagrangiana de les equacions de moviment:

{\ddot {x}}-2n{\dot {y}}={\frac {\delta U}{\delta x}}

(equació 1)

{\ddot {y}}+2n{\dot {x}}={\frac {\delta U}{\delta y}}

(equació 2)

{\ddot {z}}={\frac {\delta U}{\delta z}}

(equació 3)

Multiplicant les equacions (1), (2) i (3) per ${\dot {x}},{\dot {y}}$ i ${\dot {z}}$ respectivament, i sumant-les, resulta

{\dot {x}}{\ddot {x}}+{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}}={\frac {\delta U}{\delta x}}{\dot {x}}+{\frac {\delta U}{\delta y}}{\dot {y}}+{\frac {\delta U}{\delta z}}{\dot {z}}={\frac {dU}{dt}}

La integració d'aquesta expressió és

{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}=2U-C_{J}

on C_J és la constant d'integració. El costat esquerre representa el quadrat de la velocitat v de la partícula menor en el sistema corrotacional.

Vegeu també modifica

Notes modifica

↑ Bibliothèque nationale de France. Jacobi, Carl G. J. «Sur le movement d'un point et sur un cas particulier du problème des trois corps». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 3, 1836, pàg. 59–61.

Bibliografia modifica

Carl D. Murray i Stanley F. Dermot Solar System Dynamics [Cambridge, Anglaterra: Cambridge University Press, 1999], pàgines 68–71. (ISBN 0-521-57597-4)

[BnF-1] Bibliothèque nationale de France. Jacobi, Carl G. J. «Sur le movement d'un point et sur un cas particulier du problème des trois corps». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 3, 1836, pàg. 59–61.

[1]