En astrodinàmica, la integral de Jacobi (o la constant de Jacobi) és l'única quantitat invariant coneguda en el problema dels tres cossos restringit circular.[1] Rep el nom en honor del matemàtic Carl Gustav Jacob Jacobi. A diferència del problema dels dos cossos, l'energia i la quantitat de moviment del sistema no es conserven de manera separada i una solució analítica general not pot ser obtinguda[cal citació]. La integral de Jacobi s'ha utilitzat en la derivació de solucions en casos especials.

Definició

modifica

Sistema sinòdic

modifica
 
Sistema sinòdic

En un sistema sinòdic o corrotacional, la constant de Jacobi s'expressa de la següent manera:

 

on:

  •   és el moviment mitjà (T és el període orbital).
  •  ,  , per les dues masses m1 i m₂, i la constant gravitacional G.
  •   són distàncies a la tercera massa des de les dues masses majors.

El primer terme fa referència a l'energia potencial centrífuga, el segon representa el potencial gravitatori i el tercer és l'energia cinètica. En el sistema de referència sinòdic, les forces que actuen sobre la partícula són les dues atraccions gravitatòries, la força centrífuga i la força de Coriolis. Donat que les tres primeres forces són derivades de potencials i la força de Coriolis és perpendicular a la trajectòria, totes les forces són conservatives. Per tant, l'energia mesurada en aquest sistema de referència (i, per tant, l'integral de Jacobi) és una constant de moviment.

Sistema sideral

modifica
 
Sistema inercial

En un sistema inercial sideral (ξ, η, ζ), les masses orbiten el baricentre. En aquest sistema, la constant de Jacobi s'expressa de la següent manera:

 

Derivació

modifica

En un sistema corrotacional, les acceleracions poden expressar-se com les derivades d'una sola funció escalar

 

Emprant una representació lagrangiana de les equacions de moviment:

  (equació 1)
  (equació 2)
  (equació 3)

Multiplicant les equacions (1), (2) i (3) per   i   respectivament, i sumant-les, resulta

 

La integració d'aquesta expressió és

 

on CJ és la constant d'integració. El costat esquerre representa el quadrat de la velocitat v de la partícula menor en el sistema corrotacional.

Vegeu també

modifica
  1. Bibliothèque nationale de France. Jacobi, Carl G. J. «Sur le movement d'un point et sur un cas particulier du problème des trois corps». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 3, 1836, pàg. 59–61.

Bibliografia

modifica
  • Carl D. Murray i Stanley F. Dermot Solar System Dynamics [Cambridge, Anglaterra: Cambridge University Press, 1999], pàgines 68–71. (ISBN 0-521-57597-4)