totes les variacions i generalitzacions de les integrals gaussianas al pla complex i a dimensions múltiples
Les integrals comunes en la teoria quàntica de camps són totes les variacions i generalitzacions de les integrals gaussianas al pla complex i a dimensions múltiples.:[1] 13–15 Altres integrals es poden aproximar mitjançant versions de la integral gaussiana. També es consideren integrals de Fourier.[2]
és proporcional a la transformada de Fourier de la Gaussiana on J és la variable conjugada de x. Completant de nou el quadrat veiem que la transformada de Fourier d'un gaussià també és gaussiana, però en la variable conjugada. Com més gran a, més estret és el gaussià en x i més ample és el gaussià en J. Aquesta és una demostració del principi d'incertesa.
Aquest resultat és vàlid com a integració en el pla complex sempre que a sigui diferent de zero i tingui una part imaginària semipositiva. Vegeu la integral de Fresnel.
on D és una matriu diagonal i O és una matriu ortogonal. Això desacobla les variables i permet que la integració es realitzi com n integracions unidimensionals.
Això s'il·lustra millor amb un exemple bidimensional.
Exemple: Integració gaussiana simple en dues dimensions