Lema d'Itô

En matemàtiques, el lema d'Itô o fórmula d'Itô (també anomenada fórmula Itô-Doeblin, especialment en la literatura francesa) és una identitat utilitzada en el càlcul d'Itô per trobar el diferencial d'una funció dependent del temps d'un procés estocàstic. Serveix com a contrapartida del càlcul estocàstic de la regla de la cadena. Es pot derivar heurísticament formant l'expansió de la sèrie de Taylor de la funció fins a les seves segones derivades i conservant termes fins al primer ordre en l'increment de temps i el segon ordre en l'increment del procés de Wiener. El lema s'utilitza àmpliament en finances matemàtiques, i la seva aplicació més coneguda és en la derivació de l'equació de Black-Scholes per als valors d'opcions.

Motivació

Suposem que tenim l'equació diferencial estocàstica

$$dX_{t}=\mu _{t}\ dt+\sigma _{t}\ dB_{t},$$

on B_t és un procés de Wiener i les funcions $\mu _{t},\sigma _{t}$ són funcions deterministes (no estocàstiques) del temps. En general, no és possible escriure una solució $X_{t}$ directament en termes de $B_{t}.$ Tanmateix, formalment podem escriure una solució integral

$$X_{t}=\int _{0}^{t}\mu _{s}\ ds+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\ dB_{s}.$$

Aquesta expressió ens permet llegir fàcilment la mitjana i la variància de $X_{t}$ (que no té moments superiors). En primer lloc, observeu que cada $\mathrm {d} B_{t}$ individualment té una mitjana 0, de manera que el valor d'expectativa de $X_{t}$ és simplement la integral de la funció de deriva:

$$\mathrm {E} [X_{t}]=\int _{0}^{t}\mu _{s}\ ds.$$

De la mateixa manera, perquè el $dB$ els termes tenen variància 1 i no hi ha correlació entre si, la variància de $X_{t}$ és simplement la integral de la variància de cada pas infinitesimal en la marxa aleatòria:

$$\mathrm {Var} [X_{t}]=\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{2}\ ds.$$

Tanmateix, de vegades ens trobem davant d'una equació diferencial estocàstica per a un procés més complex $Y_{t},$ en què el procés apareix als dos costats de l'equació diferencial. És a dir, diguem

$$dY_{t}=a_{1}(Y_{t},t)\ dt+a_{2}(Y_{t},t)\ dB_{t},$$

per a algunes funcions $a_{1}$ i $a_{2}.$ En aquest cas, no podem escriure immediatament una solució formal com vam fer per al cas més senzill anterior. En canvi, esperem escriure el procés $Y_{t}$ en funció d'un procés més senzill $X_{t}$ prenent el formulari anterior. És a dir, volem identificar tres funcions $f(t,x),\mu _{t},$ i $\sigma _{t},$ de tal manera que $Y_{t}=f(t,X_{t})$ i $dX_{t}=\mu _{t}\ dt+\sigma _{t}\ dB_{t}.$ A la pràctica, s'utilitza el lema d'Ito per trobar aquesta transformació. Finalment, un cop hem transformat el problema en el tipus més simple de problema, podem determinar els moments mitjans i superiors del procés.