Considerem una funció contínua f amb valors complexos , definida en un contorn semicircular
C
R
=
{
z
:
z
=
R
⋅
e
i
θ
,
θ
∈
[
0
,
π
]
}
{\displaystyle C_{R}=\{z:z=R\!\cdot \!e^{i\theta },\theta \in [0,\pi ]\}}
de radi R > 0 situat en el semiplà superior, centrat a l'origen. Si la funció f és de la forma
f
(
z
)
=
e
i
a
z
g
(
z
)
,
z
∈
C
R
,
{\displaystyle f(z)=e^{iaz}g(z)\,,\quad z\in C_{R},}
amb el paràmetre a > 0, llavors el lema de Jordan estableix la següent fita superior per la integral de contorn:
|
∫
C
R
f
(
z
)
d
z
|
≤
π
a
max
θ
∈
[
0
,
π
]
|
g
(
R
⋅
e
i
θ
)
|
.
{\displaystyle {\biggl |}\int _{C_{R}}f(z)\,dz{\biggr |}\leq {\frac {\pi }{a}}\max _{\theta \in [0,\pi ]}{\bigl |}g{\bigl (}R\!\cdot \!e^{i\theta }{\bigr )}{\bigr |}\,.}
També és vàlid un resultat similar per un contorn semicircular en el semiplà inferior quan a < 0.
Si f està definida i és contínua en el contorn semicircular CR per qualsevol R gran i
M
R
:=
max
θ
∈
[
0
,
π
]
|
g
(
R
⋅
e
i
θ
)
|
→
0
quan
R
→
∞
,
(
∗
)
{\displaystyle M_{R}:=\max _{\theta \in [0,\pi ]}{\bigl |}g{\bigl (}R\!\cdot \!e^{i\theta }{\bigr )}{\bigr |}\to 0\quad {\mbox{quan }}R\to \infty \,,\qquad (*)}
llavors pel lema de Jordan
lim
R
→
∞
∫
C
R
f
(
z
)
d
z
=
0.
{\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{C_{R}}f(z)\,dz=0.}
Comparant amb el lema d'estimació, la fita superior en el lema de Jordan no depèn de forma explícita de la longitud del contorn CR .
El camí C és la concatenació dels camins C 1 i C ₂. El lema de Jordan proveeix d'una forma senzilla per calcular la integral al llarg de l'eix real de funcions f (z ) = eiaz g (z )holomorfes en el semiplà superior i contínues en el semiplà superior tancat, excepte possiblement un nombre finit de nombres no-reals z 1 , z ₂, ..., zn . Considerem el contorn tancat C , que és la concatenació dels camins C 1 i C ₂ mostrats a la figura. Per definició,
∮
C
f
(
z
)
d
z
=
∫
C
1
f
(
z
)
d
z
+
∫
C
2
f
(
z
)
d
z
.
{\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\int _{C_{1}}f(z)\,dz+\int _{C_{2}}f(z)\,dz\,.}
Com que en C ₂ la variable z és real, la segona integral és real:
∫
C
2
f
(
z
)
d
z
=
∫
−
R
R
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int _{C_{2}}f(z)\,dz=\int _{-R}^{R}f(x)\,dx\,.}
Es pot calcular el membre esquerre de la igualtat mitjançant el teorema dels residus , obtenint així, per tot R més gran que el màxim dels |z 1 |, |z ₂|, ..., |zn |,
∮
C
f
(
z
)
d
z
=
2
π
i
∑
k
=
1
n
Res
(
f
,
z
k
)
{\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,z_{k})\,}
on Res(f , zk ) simbolitza el residu de f a la singularitat zk . Per tant, si f satisfà la condició (*), llavors prenent el límit quan R tendeix a infinit , la integral de contorn sobre C 1 s'anul·la pel lema de Jordan, i obtenim el valor de la integral impròpia
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
d
x
=
2
π
i
∑
k
=
1
n
Res
(
f
,
z
k
)
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,z_{k})\,.}
La funció
f
(
z
)
=
e
i
z
1
+
z
2
,
z
∈
C
∖
{
i
,
−
i
}
,
{\displaystyle f(z)={\frac {e^{iz}}{1+z^{2}}},\qquad z\in {\mathbb {C} }\setminus \{i,-i\},}
satisfà la condició del lema de Jordan amb a = 1 per qualsevol R > 0 amb R ≠ 1. Notem que, per R > 1,
M
R
=
max
θ
∈
[
0
,
π
]
1
|
1
+
R
2
e
2
i
θ
|
=
1
R
2
−
1
{\displaystyle M_{R}=\max _{\theta \in [0,\pi ]}{\frac {1}{|1+R^{2}e^{2i\theta }|}}={\frac {1}{R^{2}-1}}\,}
llavors es compleix (*). Com que l'única singularitat de f en el pla superior és a z = i , quan apliquem el lema de Jordan obtenim
∫
−
∞
∞
e
i
x
1
+
x
2
d
x
=
2
π
i
Res
(
f
,
i
)
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ix}}{1+x^{2}}}\,dx=2\pi i\,\operatorname {Res} (f,i)\,.}
Com que z = i és un pol simple de f i 1 + z ² = (z + i )(z - i ) , obtenim
Res
(
f
,
i
)
=
lim
z
→
i
(
z
−
i
)
f
(
z
)
=
lim
z
→
i
e
i
z
z
+
i
=
e
−
1
2
i
{\displaystyle \operatorname {Res} (f,i)=\lim _{z\to i}(z-i)f(z)=\lim _{z\to i}{\frac {e^{iz}}{z+i}}={\frac {e^{-1}}{2i}}}
amb la qual cosa
∫
−
∞
∞
cos
x
1
+
x
2
d
x
=
Re
∫
−
∞
∞
e
i
x
1
+
x
2
d
x
=
π
e
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\cos x}{1+x^{2}}}\,dx=\operatorname {Re} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ix}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{e}}\,.}
Aquest resultat il·lustra com algunes integrals difícils de calcular es poden resoldre mitjançant tècniques d'anàlisi complexa.
Per definició d'integral curvilínia complexa,
∫
C
R
f
(
z
)
d
z
=
∫
0
π
g
(
R
⋅
e
i
θ
)
e
i
a
R
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
i
R
⋅
e
i
θ
d
θ
=
R
∫
0
π
g
(
R
⋅
e
i
θ
)
e
a
R
(
i
cos
θ
−
sin
θ
)
i
e
i
θ
d
θ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{C_{R}}f(z)\,dz&=\int _{0}^{\pi }g(R\!\cdot \!e^{i\theta })\,e^{iaR(\cos \theta +i\sin \theta )}\,iR\!\cdot \!e^{i\theta }\,d\theta \\&=R\int _{0}^{\pi }g(R\!\cdot \!e^{i\theta })\,e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}\,ie^{i\theta }\,d\theta \,.\end{aligned}}}
La desigualtat
|
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
|
≤
∫
a
b
|
f
(
x
)
|
d
x
{\displaystyle {\biggl |}\int _{a}^{b}f(x)\,dx{\biggr |}\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx}
ens dona
I
R
:=
|
∫
C
R
f
(
z
)
d
z
|
≤
R
∫
0
π
|
g
(
R
⋅
e
i
θ
)
e
a
R
(
i
cos
θ
−
sin
θ
)
i
e
i
θ
|
d
θ
=
R
∫
0
π
|
g
(
R
⋅
e
i
θ
)
|
e
−
a
R
sin
θ
d
θ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{R}:={\biggl |}\int _{C_{R}}f(z)\,dz{\biggr |}&\leq R\int _{0}^{\pi }{\bigl |}g(R\!\cdot \!e^{i\theta })\,e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}\,ie^{i\theta }{\bigr |}\,d\theta \\&=R\int _{0}^{\pi }{\bigl |}g(R\!\cdot \!e^{i\theta }){\bigr |}\,e^{-aR\sin \theta }\,d\theta \,.\end{aligned}}}
Usant MR segons la definició de (*) i la simetria sin θ = sin(π – θ ) , obtenim
I
R
≤
R
M
R
∫
0
π
e
−
a
R
sin
θ
d
θ
=
2
R
M
R
∫
0
π
/
2
e
−
a
R
sin
θ
d
θ
.
{\displaystyle I_{R}\leq RM_{R}\int _{0}^{\pi }e^{-aR\sin \theta }\,d\theta =2RM_{R}\int _{0}^{\pi /2}e^{-aR\sin \theta }\,d\theta \,.}
Com que el gràfic de sin θ és una funció còncava en l'interval θ ∈ [0,π /2]sin θ queda per sobre de la recta que connecta els seus extrems; llavors
sin
θ
≥
2
θ
π
{\displaystyle \sin \theta \geq {\frac {2\theta }{\pi }}\quad }
per qualsevol θ ∈ [0,π /2]
I
R
≤
2
R
M
R
∫
0
π
/
2
e
−
2
a
R
θ
/
π
d
θ
=
π
a
(
1
−
e
−
a
R
)
M
R
≤
π
a
M
R
.
{\displaystyle I_{R}\leq 2RM_{R}\int _{0}^{\pi /2}e^{-2aR\theta /\pi }\,d\theta ={\frac {\pi }{a}}(1-e^{-aR})M_{R}\leq {\frac {\pi }{a}}M_{R}\,.}
Churchill , James Ward Brown, Ruel V.. Complex variables and applications . 7th ed.. Boston: McGraw-Hill Higher Education, 2004, p. 262-265. ISBN 0-07-287252-7 
![{\displaystyle C_{R}=\{z:z=R\!\cdot \!e^{i\theta },\theta \in [0,\pi ]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf641bbf3b406d6d890a009ee0e06a8565ec615e)
![{\displaystyle {\biggl |}\int _{C_{R}}f(z)\,dz{\biggr |}\leq {\frac {\pi }{a}}\max _{\theta \in [0,\pi ]}{\bigl |}g{\bigl (}R\!\cdot \!e^{i\theta }{\bigr )}{\bigr |}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00e9613b8b747209b201c12cebd940bd4b3cbaa4)
![{\displaystyle M_{R}:=\max _{\theta \in [0,\pi ]}{\bigl |}g{\bigl (}R\!\cdot \!e^{i\theta }{\bigr )}{\bigr |}\to 0\quad {\mbox{quan }}R\to \infty \,,\qquad (*)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b041528740a577a7e83c30a5172316ee122075ed)
![{\displaystyle M_{R}=\max _{\theta \in [0,\pi ]}{\frac {1}{|1+R^{2}e^{2i\theta }|}}={\frac {1}{R^{2}-1}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/305dcbcd7193cbf8189be1fd2e1deaaca43a4fb1)
