Lema dels nuclis

En àlgebra lineal, el lema dels nuclis, també anomenat teorema de descomposició dels nuclis, és un resultat sobre reduccions d'endomorfismes. En un espai vectorial E sobre un cos K, si un operador u de E s'anul·la per un polinomi P(X) a coeficients dins K, aleshores aquest lema afirma que existeix una descomposició de E com a suma directa de subespais invariants per u. Aquests subespais invariants es defineixen com a nuclis de polinomis en u, i les projeccions corresponents també són polinomis en u.

La demostració trasllada la identitat de Bézout per polinomis a subespais vectorials. Com a resultat fonamental, el lema dels nuclis porta a la descomposició de Jordan–Chevalley i a la forma canònica de Jordan. De forma més simple, el lema dels nuclis apunta que un operador u és diagonalitzable si s'anul·la per un polinomi amb arrels simples.

Enunciat

Sigui $E$ un espai vectorial sobre un cos commutatiu $K$ i sigui $f$ un endomorfisme de $E$. Si $P_{1},\ldots ,P_{n}\in K[X]$ (amb $n\in \mathbb {N} ^{*}$) són primers dos a dos, llavors els subespais vectorials $V_{i}=\ker(P_{i}(f))$ (on $1\leq i\leq n$) estan en suma directa, i $\bigoplus _{i=1}^{n}\ker \left[P_{i}(f)\right]=\ker \left[\left(\prod _{i=1}^{n}P_{i}\right)(f)\right].$ A més, la projecció de la suma directa sobre $V_{i}$ paral·lelament a $\bigoplus _{j\neq i}V_{j}$ és la restricció de $Q_{i}(f)$ per un polinomi Qi. Lema dels nuclis

Demostració

Reducció al cas n = 2

Primerament, mostrarem per recurrència sobre $n$ que, si el lema és cert per $n=2$, llavors també és cert per tot $n$. Pel cas $n=1$ no hi ha res a demostrar (la projecció mencionada és la identitat, que és $Q(f)$ amb Q el polinomi constant 1). Si $n>2$, escrivim $Q=P_{1}P_{2}\cdots P_{n-1}$ i llavors $\textstyle \prod _{i=1}^{n}P_{i}=QP_{n}$, d'on $Q$ és primer amb $P_{n}$ (ja que, per la identitat de Bézout per polinomis, cadascun dels factors $P_{i}$ de $Q$ és invertible mòdul $P_{n}$, i per tant també ho és el seu producte $Q$). El cas $n=2$ ens diu que $\ker(QP_{n})(f)=\ker Q(f)\oplus \ker P_{n}(f)$, amb les projeccions corresponents donades per polinomis en l'endomorfisme f; la hipòtesi d'inducció ens permet descompondre $\ker Q(f)\,$ com a suma directa dels $\ker P_{i}(f)\,$ per $i=1,\ldots ,n-1$, i les projeccions de $\ker Q(f)\,$ sobre aquests factors es componen amb la projecció sobre $\ker Q(f)\,$ per donar finalment les projeccions desitjades $\ker(QP_{n})(f)\to \ker P_{i}(f)$.

Cas n = 2

Es pot veure de forma senzilla que l'espai $V=\ker(P_{1}P_{2})(f)$ conté els espais $V_{i}=\ker P_{i}(f)\,$ per $i=1,2$, i per tant també conté la seva suma; ara es tracta de demostrar que la suma $V_{1}+V_{2}$ és directa, i que és igual a tot V (amb les projeccions polinòmiques en $f\,$). Per la identitat de Bézout, existeixen $Q_{1},Q_{2}\in K[X]$ tals que $P_{1}Q_{1}+P_{2}Q_{2}=1$, i per tant $(P_{1}Q_{1}+P_{2}Q_{2})(f)=\mathrm {id} _{E}$ (la funció identitat de $E$). Notem que

$\pi _{i}=(P_{j}Q_{j})(f)\mid _{V}\,\in \mathrm {End} (V)\qquad \mathrm {on} ~\{i,j\}=\{1,2\}$,

i llavors $\pi _{1}+\pi _{2}=\mathrm {id} _{V}\,$ i $\pi _{1}(V_{2})=\pi _{2}(V_{1})=\{0\}\,$.

Per veure que la suma $V_{1}+V_{2}$ és directa, considerem $x\in V_{1}\cap V_{2}$. Tenim que $x=\pi _{1}(x)+\pi _{2}(x)=0\,$, i la suma és, doncs, directa.

Per veure que $V_{1}+V_{2}=V$, considerem $x\in V$. Tenim que $x=\pi _{1}(x)+\pi _{2}(x)\,$ amb $\pi _{1}(x)\in V_{1}\,$, ja que

$P_{1}(f)(\pi _{1}(x))=(P_{1}P_{2}Q_{2})(f)(x)=(Q_{2}P_{1}P_{2})(f)(x)=Q_{2}(f)(0)=0\,$,

i similarment $\pi _{2}(x)\in V_{2}\,$. D'aquí concloem que $v\in V_{1}+V_{2}$ i, per tant, $V=V_{1}+V_{2}$.

Finalment, les projeccions de $V=V_{1}\oplus V_{2}$ sobre els factors són $\pi _{1}\,$ i $\pi _{2}\,$: ja hem vist que la imatge de $\pi _{i}\,$ està continguda a $V_{i}$, i que s'anul·la per l'altre factor; només resta veure que $\pi _{i}\,$ és la identitat sobre $V_{i}$. Per $x\in V_{i}$ tenim que $x=\pi _{1}(x)+\pi _{2}(x)=\pi _{i}(x)\,$, cosa que volíem demostrar.

Aplicacions

El lema dels nuclis és útil per reduir endomorfismes. Per exemple:

Sigui $E$ un espai vectorial de dimensió finita sobre un cos $K$ i sigui $f$ un endomorfisme de $E$. Sigui $P\in K[X]$ un polinomi anul·lador de $f$ (per exemple, el seu polinomi mínim, o el seu polinomi característic, pel teorema de Cayley-Hamilton) i sigui $\prod _{i=1}^{n}P_{i}^{m_{i}}$ la factorització de $P$ en els polinomis $P_{i}$ irreductibles i diferents. Llavors existeix una base ${\mathcal {B}}$ de $E$ i existeixen matrius $A_{i}\in \mathbf {M} _{n_{i}}(K)$ tals que $\mathrm {Mat} _{\mathcal {B}}(f)={\begin{pmatrix}A_{1}&0&\dots &0\\0&A_{2}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &A_{n}\end{pmatrix}};$ on $n_{i}=\dim \ker P_{i}^{m_{i}}(f)$ (de fet, la part de ${\mathcal {B}}$ corresponent al bloc $A_{i}$ és una base de $\ker P_{i}^{m_{i}}(f)$), i $P_{i}^{m_{i}}(A_{i})=0$. Reducció a una forma diagonal per blocs

Demostració
Per hipòtesi, $\ker P(f)=E$. Llavors, pel lema dels nuclis: $E=\bigoplus _{i=1}^{n}\ker P_{i}^{m_{i}}(f).$ Cada subespai $\ker P_{i}^{m_{i}}(f)$ és invariant per $f$, i per tant la matriu de $f$ (en qualsevol base de $E$ adaptada a la descomposició anterior en subespais invariants) és diagonal per blocs, com volíem demostrar.