Obre el menú principal

Suma directa de subespais vectorialsModifica

Suma directa de dos subespais vectorialsModifica

Siguin   i   dos subespais vectorials de l'espai vectorial E. Es diu que   i   són en suma directa si i només si per a tot element u de  , existeix una única parella   de   tal que  .

Es diu també en aquest cas que la suma   és directa.

En altres paraules, la suma de dos subespais vectorials   i   és directa si la descomposició de tot element de   en suma d'un element de   i d'un element de   és única.

La suma llavors es nota:  .

Es disposa de les caracteritzacions usuals següents:

  •   i   són en suma directa si i només si, per a tot   de   i   de  
 
  •   i   són en suma directa si i només si
 

Cas de la dimensió finita: quan   i   són de dimensions finites, les assercions següents són equivalents:

  1. La suma   és directa.
  2.  .
  3. Juxtaposant ("reunint") una base de   i una base de  , es constitueix una base de  .

Subespais suplementaris: dos subespais   i   de E s'anomenen suplementaris quan  . Això significa que per a tot element u de E, existeix una única parella   de   tal que  .

Suma directa de diversos subespais vectorialsModifica

Es pot generalitzar la noció de suma directa a una família finita de subespais vectorials de E.

Es diu que una família   de subespais vectorials de E és en suma directa si i només si, per a tot element u de la suma  , existeix una k-tupla única   de   tal que  .

Es diu també en aquest cas que la suma F dels subespais   és directa.

En altres paraules, la suma és directa si la descomposició de tot element de   en suma d'elements dels   és única.

Per designar una suma directa, es fan servir les notacions   o  .

Com en el cas de 2 subespais vectorials, es poden caracteritzar les sumes directes per la unicitat de la descomposició del vector nul:

La suma   és directa si i només si:
L'única k -tupla   de   tal que   és aquella tots els elements de la qual són nuls.

Nota: així que la família comprèn almenys 3 subespais, no n'hi ha prou perquè la suma sigui directa que les seves interseccions dos a dos estiguin reduïdes a  , és a dir que:

  per a tot i i pe a tot j, i diferent de j.

Es veu observant a   els subespais vectorials:

 
 
 .

Les seves interseccions dos a dos queden reduïdes a {(0; 0)}, però la seva suma   (igual a  ) no és directa.

En efecte, els 3 vectors   pertanyen respectivament a  ; són no nuls, i tals que  : la descomposició del vector nul no és única.

Per altra banda, es demostra que els subespais de la família   són en suma directa en   si i només si:

  •  
  •  

Quan els subespais vectorials són de dimensions finites, es té també l'equivalència de les assercions següents:

  1. Els   són en suma directa.
  2.  .
  3. Juxtaposant una base   de  ... una base   de  , es constitueix una base de la suma.

Exemple: siguin E un espai vectorial sobre K de dimensió finita, i f un endomorfisme de E que té exactament p valors propis (diferents) anomenats  . Es designa per   l'endomorfisme identitat de E.

Per a tot enter i tal que 1 ≤ i ≤ p,   és el subespai propi de f associat al valor propi  .
Les dues propietats següents són clàssiques:

  • La suma   és directa.
  •  si i només si f és diagonalitzable.
Quan és el cas, es constitueix una base   de E diagonalitzant f juxtaposant una base   de  , ..., una base   de  .

Suma directa ortogonalModifica

Es designa aquí per E un espai préhilbertià real o complex (espai vectorial real o complex proveït d'un producte escalar). Sigui una família   de subespais vectorials de E. Si són dos a dos d'ortogonals, la seva suma és directa. Llavors s'anomena suma directa ortogonal.

Un exemple molt senzill és l'espai   constituït pels vectors ortogonals a tots els vectors d'un subespai vectorial F: és en suma directa amb F. La igualtat   no sempre es verifica quan la dimensió és infinita. En canvi, sí que es verifica així que   és de dimensió finita.

Dos espais que són a la vegada suplementaris i ortogonals s'anomenen suplementaris ortogonals. Un subespai vectorial F de E, fins i tot si té suplementaris, no en té necessàriament un que li sigui ortogonal. Una condició suficient és que l'espai F sigui complet (cosa que es verifica en el cas particular si és de dimensió finita). Aquesta qüestió està vinculada a la possibilitat d'efectuar una projecció ortogonal.

Quan els subespais vectorials són de dimensions finites, es té l'equivalència de les assercions següents:

  1. Els   són en suma directa ortogonal.
  2. Juxtaposant una base ortogonal   de  , ..., una base ortogonal   de  , es constitueix una base ortogonal de la suma.

Suma directa externa i producte cartesiàModifica

Quan dos subespais  ,   d'un espai vectorial E són en suma directa, l'aplicació següent és bijectiva:

 

Existeix en aquest cas una única estructura d'espai vectorial sobre el producte cartesià   tal que aquesta aplicació és un isomorfisme d'espais vectorials; la llei interna i la llei externa es defineixen respectivament per les relacions:

  et  ,
on  ,   són en  ,  ,   són en  , i   és en  .

Això porta, si   i   són dos espais vectorials qualssevol sobre el mateix cos  , a definir la seva suma directa, anomenada llavors externa.

Suma directa externa de dos K -espais vectorialsModifica

La suma directa externa de dos  -espais vectorials   i   és el producte cartesià   sobre el qual es defineix

  • una addició:
 
  • una multiplicació externa pels elements de  :
  (où  )

Proveït d'aquestes dues lleis de composició, el conjunt   és un espai vectorial sobre  .

A partir d'aquí,   i   són dos subespais de  , respectivament isomorfs a   i   (s'ha "submergit"  ,   al producte cartesià);

la relació   justifica la denominació de suma a directa externa.

Quan   i   són de dimensions finites, ho és també la seva suma directa externa, i:

 
(ja que   és suma directa dels dos subespais   i  , que tenen igual dimensió que  ,   respectivament).

Suma directa externa diversos K -espais vectorialsModifica

Es defineix també la suma directa externa   de k espais vectorials   sobre el mateix cos  .

Quan   són de dimensions finites, ho és també la seva suma directa externa, i:

 .

Suma directa externa d'una família infinita de K -espais vectorialsModifica

Per a un nombre finit d'espais vectorials la suma directa externa i el producte directe coincidixen. No és el cas quan la família és infinita.

En efecte, sigui   una família (eventualment infinita) de K -espais vectorials. La suma directa externa   és el subespai vectorial del producte directe   constituït les famílies amb suport finit. La propietat universal de més avall és la raó d'aquesta tria.

Es pot, amb aquesta noció, definir de forma elegant la suma directa d'una família infinita de subespais: Una família de subespais de E és en suma directa si i només si el morfisme suma que va de la suma directa externa d'aquests subespais a E que a una família de vectors associa la seva suma és injectiu.

Observació a propòsit d'altres estructures algebraiquesModifica

Es defineix de manera anàloga la suma directa externa d'un nombre finit de grups additius, o d'anells, o de A-mòduls sobre el mateix anell A.

Per exemple, si   i   són dos anells, es defineixen sobre   dues lleis de composició interna:

  • una addició:
 
  • una multiplicació:
 

Proveït d'aquestes dues lleis de composició, el conjunt   és un anell. Fins i tot si   i   són íntegres, el seu producte cartesià no ho és:  ,   sent dos elements no nuls de  ,   respectivament, es té:  .

Propietat universal de la suma directaModifica

Sigui   un anell; sigui   una família d'A-mòduls,   un A-mòdul; sigui   una família d'aplicacions lineals.

Llavors existeix una única aplicació   A-lineal tal que:  ,   amb   l'aplicació injectiva canònica.

Vegeu tambéModifica