Suma directa

En àlgebra, el terme suma directa s'aplica a diverses situacions diferents.

Suma directa de subespais vectorials

Suma directa de dos subespais vectorials

Siguin $F_{1}$ i $F_{2}$ dos subespais vectorials de l'espai vectorial E. Es diu que $F_{1}$ i $F_{2}$ són en suma directa si i només si per a tot element u de $F_{1}+F_{2}$, existeix una única parella $\ (u_{1};u_{2})$ de $F_{1}\times F_{2}$ tal que $u=u_{1}+u_{2}$.

Es diu també en aquest cas que la suma $F_{1}+F_{2}$ és directa.

En altres paraules, la suma de dos subespais vectorials $F_{1}$ i $F_{2}$ és directa si la descomposició de tot element de $F_{1}+F_{2}$ en suma d'un element de $F_{1}$ i d'un element de $F_{2}$ és única.

La suma llavors es nota: $F_{1}\oplus F_{2}$.

Es disposa de les caracteritzacions usuals següents:

• $F_{1}$ i $F_{2}$ són en suma directa si i només si, per a tot $u_{1}$ de $F_{1}$ i $u_{2}$ de $F_{2}$

$u_{1}+u_{2}=0\Leftrightarrow u_{1}=u_{2}=0$

• $F_{1}$ i $F_{2}$ són en suma directa si i només si

$F_{1}\cap F_{2}=\{0\}$

Cas de la dimensió finita: quan $F_{1}$ i $F_{2}$ són de dimensions finites, les assercions següents són equivalents:

1. La suma $F_{1}+F_{2}$ és directa.
2. $\dim F_{1}+\dim F_{2}=\dim(F_{1}+F_{2})$.
3. Juxtaposant ("reunint") una base de $F_{1}$ i una base de $F_{2}$, es constitueix una base de $F_{1}+F_{2}$.

Subespais suplementaris: dos subespais $F_{1}$ i $F_{2}$ de E s'anomenen suplementaris quan $E=F_{1}\oplus F_{2}$. Això significa que per a tot element u de E, existeix una única parella $\ (u_{1};u_{2})$ de $F_{1}\times F_{2}$ tal que $\ u=u_{1}+u_{2}$.

Suma directa de diversos subespais vectorials

Es pot generalitzar la noció de suma directa a una família finita de subespais vectorials de E.

Es diu que una família $(F_{i})_{i=1\cdots k}$ de subespais vectorials de E és en suma directa si i només si, per a tot element u de la suma $F=\sum _{i=1}^{k}F_{i}$, existeix una k-tupla única $(u_{1};u_{2};\cdots ;u_{k})$ de $F_{1}\times F_{2}\times \cdots \times F_{k}$ tal que $u=\sum _{i=1}^{k}u_{i}$.

Es diu també en aquest cas que la suma F dels subespais $(F_{i})_{i=1\cdots k}$ és directa.

En altres paraules, la suma és directa si la descomposició de tot element de $F=\sum _{i=1}^{k}F_{i}$ en suma d'elements dels $F_{i}\,$ és única.

Per designar una suma directa, es fan servir les notacions $F_{1}\oplus F_{2}\oplus \cdots \oplus F_{k}$ o $\bigoplus _{i=1}^{k}F_{i}$.

Com en el cas de 2 subespais vectorials, es poden caracteritzar les sumes directes per la unicitat de la descomposició del vector nul:

La suma $F=\sum _{i=1}^{k}F_{i}$ és directa si i només si:

L'única k -tupla $(u_{1};u_{2};\cdots ;u_{k})$ de $F_{1}\times F_{2}\times \cdots \times F_{k}$ tal que $\sum _{i=1}^{k}u_{i}=0$ és aquella tots els elements de la qual són nuls.

Nota: així que la família comprèn almenys 3 subespais, no n'hi ha prou perquè la suma sigui directa que les seves interseccions dos a dos estiguin reduïdes a $\ \{0\}$, és a dir que:

$F_{i}\cap F_{j}=\{0\}$ per a tot i i pe a tot j, i diferent de j.

Es veu observant a $\mathbb {R} ^{2}$ els subespais vectorials:

$F_{1}=\{(x;0),x\in \mathbb {R} \}$

$F_{2}=\{(y;y),y\in \mathbb {R} \}$

$F_{3}=\{(0;t),t\in \mathbb {R} \}$.

Les seves interseccions dos a dos queden reduïdes a {(0; 0)}, però la seva suma $\ F=F_{1}+F_{2}+F_{3}$ (igual a $\ \mathbb {R} ^{2}$) no és directa.

En efecte, els 3 vectors $u_{1}=(1;0),\,u_{2}=(-1;-1),\,u_{3}=(0;1)$ pertanyen respectivament a $F_{1},\,F_{2},\,F_{3}$; són no nuls, i tals que $\ u_{1}+u_{2}+u_{3}=(0;0)$: la descomposició del vector nul no és única.

Per altra banda, es demostra que els subespais de la família $\ (F_{i})_{1\geq i\geq n}$ són en suma directa en $\ E$ si i només si:

• $\ \sum _{i=1}^{n}F_{i}=E$
• $\ \forall k\in \left\{1,...,n-1\right\},\ \left(\sum _{i=1}^{k}F_{i}\right)\cap F_{k+1}=\left\{0_{E}\right\}$

Quan els subespais vectorials són de dimensions finites, es té també l'equivalència de les assercions següents:

1. Els $(F_{i})_{i=1\cdots k}$ són en suma directa.
2. $\sum _{i=1}^{k}\dim F_{i}=\dim \left(\sum _{i=1}^{k}F_{i}\right)$.
3. Juxtaposant una base $\ {\mathcal {B}}_{1}$ de $\ F_{1}$... una base $\ {\mathcal {B}}_{k}$ de $\ F_{k}$, es constitueix una base de la suma.

Exemple: siguin E un espai vectorial sobre K de dimensió finita, i f un endomorfisme de E que té exactament p valors propis (diferents) anomenats $\lambda _{1},\,\dots ,\,\lambda _{p}$. Es designa per $\ \mathrm {Id}$ l'endomorfisme identitat de E.

Per a tot enter i tal que 1 ≤ i ≤ p, $E_{i}=\mathrm {ker} (f-\lambda _{i}\,\mathrm {Id} )$ és el subespai propi de f associat al valor propi $\ \lambda _{i}$.
Les dues propietats següents són clàssiques:

• La suma $\sum _{i=1}^{p}E_{i}$ és directa.
• $\bigoplus _{i=1}^{p}E_{i}=E$si i només si f és diagonalitzable.

Quan és el cas, es constitueix una base $\ {\mathcal {B}}$ de E diagonalitzant f juxtaposant una base $\ {\mathcal {B}}_{1}$ de $\ E_{1}$, ..., una base $\ {\mathcal {B}}_{p}$ de $\ E_{p}$.

Suma directa ortogonal

Es designa aquí per E un espai préhilbertià real o complex (espai vectorial real o complex proveït d'un producte escalar). Sigui una família $(F_{i})_{i=1\cdots k}$ de subespais vectorials de E. Si són dos a dos d'ortogonals, la seva suma és directa. Llavors s'anomena suma directa ortogonal.

Un exemple molt senzill és l'espai $F^{\perp }$ constituït pels vectors ortogonals a tots els vectors d'un subespai vectorial F: és en suma directa amb F. La igualtat $E=F^{\perp }+F$ no sempre es verifica quan la dimensió és infinita. En canvi, sí que es verifica així que $E$ és de dimensió finita.

Dos espais que són a la vegada suplementaris i ortogonals s'anomenen suplementaris ortogonals. Un subespai vectorial F d'E, fins i tot si té suplementaris, no en té necessàriament un que li sigui ortogonal. Una condició suficient és que l'espai F sigui complet (cosa que es verifica en el cas particular si és de dimensió finita). Aquesta qüestió està vinculada a la possibilitat d'efectuar una projecció ortogonal.

Quan els subespais vectorials són de dimensions finites, es té l'equivalència de les assercions següents:

1. Els $(F_{i})_{i=1\cdots k}$ són en suma directa ortogonal.
2. Juxtaposant una base ortogonal $\ {\mathcal {B}}_{1}$ de $\ F_{1}$, ..., una base ortogonal $\ {\mathcal {B}}_{k}$ de $\ F_{k}$, es constitueix una base ortogonal de la suma.

Suma directa externa i producte cartesià

Quan dos subespais $F_{1}$, $F_{2}$ d'un espai vectorial E són en suma directa, l'aplicació següent és bijectiva:

$F_{1}\times F_{2}\to F_{1}\oplus F_{2},(u_{1};u_{2})\mapsto u_{1}+u_{2}$

Existeix en aquest cas una única estructura d'espai vectorial sobre el producte cartesià $F_{1}\times F_{2}$ tal que aquesta aplicació és un isomorfisme d'espais vectorials; la llei interna i la llei externa es defineixen respectivament per les relacions:

$\ (u_{1};u_{2})+(v_{1};v_{2})=(u_{1}+v_{1};u_{2}+v_{2})$ et $\alpha \,(u_{1};u_{2})=(\alpha \,u_{1};\alpha \,u_{2})$,

on $u_{1}$, $v_{1}$ són en $F_{1}$, $u_{2}$, $v_{2}$ són en $F_{2}$, i $\alpha$ és en $K$.

Això porta, si $E_{1}$ i $E_{2}$ són dos espais vectorials qualssevol sobre el mateix cos $K$, a definir la seva suma directa, anomenada llavors externa.

Suma directa externa de dos K -espais vectorials

La suma directa externa de dos $K$-espais vectorials $E_{1}$ i $E_{2}$ és el producte cartesià $E_{1}\times E_{2}$ sobre el qual es defineix

• una addició:

$\ (u_{1};u_{2})+(v_{1};v_{2})=(u_{1}+v_{1};u_{2}+v_{2})$

• una multiplicació externa pels elements de $K$:

$\alpha \,(u_{1};u_{2})=(\alpha \,u_{1};\alpha \,u_{2})$ (où $\alpha \in K$)

Proveït d'aquestes dues lleis de composició, el conjunt $E_{1}\times E_{2}$ és un espai vectorial sobre $K$.

A partir d'aquí, ${\tilde {E_{1}}}=E_{1}\times \{0\}$ i ${\tilde {E_{2}}}=\{0\}\times E_{2}$ són dos subespais de $E_{1}\times E_{2}$, respectivament isomorfs a $E_{1}$ i $E_{2}$ (s'ha "submergit" $E_{1}$, $E_{2}$ al producte cartesià);

la relació $E_{1}\times E_{2}={\tilde {E_{1}}}\oplus {\tilde {E_{2}}}$ justifica la denominació de suma a directa externa.

Quan $E_{1}$ i $E_{2}$ són de dimensions finites, ho és també la seva suma directa externa, i:

$\dim(E_{1}\times E_{2})=\dim E_{1}+\dim E_{2}$

(ja que $E_{1}\times E_{2}$ és suma directa dels dos subespais ${\tilde {E_{1}}}$ i ${\tilde {E_{2}}}$, que tenen igual dimensió que $\ E_{1}$, $\ E_{2}$ respectivament).

Suma directa externa diversos K -espais vectorials

Es defineix també la suma directa externa $\ E_{1}\times \cdots \times E_{k}$ de k espais vectorials $E_{1},\dots ,E_{k}$ sobre el mateix cos $K$.

Quan $E_{1},\dots ,E_{k}$ són de dimensions finites, ho és també la seva suma directa externa, i:

$\dim(E_{1}\times \cdots \times E_{k})=\dim E_{1}+\cdots +\dim E_{k}$.

Suma directa externa d'una família infinita de K -espais vectorials

Per a un nombre finit d'espais vectorials la suma directa externa i el producte directe coincidixen. No és el cas quan la família és infinita.

En efecte, sigui $(E_{i})_{i\in I}$ una família (eventualment infinita) de K -espais vectorials. La suma directa externa $\oplus _{i\in I}E_{i}$ és el subespai vectorial del producte directe $\prod _{i\in I}E_{i}$ constituït les famílies amb suport finit. La propietat universal de més avall és la raó d'aquesta tria.

Es pot, amb aquesta noció, definir de forma elegant la suma directa d'una família infinita de subespais: Una família de subespais de E és en suma directa si i només si el morfisme suma que va de la suma directa externa d'aquests subespais a E que a una família de vectors associa la seva suma és injectiu.

Observació a propòsit d'altres estructures algebraiques

Es defineix de manera anàloga la suma directa externa d'un nombre finit de grups additius, o d'anells, o de A-mòduls sobre el mateix anell A.

Per exemple, si $A_{1}$ i $A_{2}$ són dos anells, es defineixen sobre $A_{1}\times A_{2}$ dues lleis de composició interna:

• una addició:

$\ (a_{1};a_{2})+(b_{1};b_{2})=(a_{1}+b_{1};a_{2}+b_{2})$

• una multiplicació:

$\ (a_{1};a_{2})\cdot (b_{1};b_{2})=(a_{1}b_{1};a_{2}b_{2})$

Proveït d'aquestes dues lleis de composició, el conjunt $A_{1}\times A_{2}$ és un anell. Fins i tot si $A_{1}$ i $A_{2}$ són íntegres, el seu producte cartesià no ho és: $a_{1}$, $a_{2}$ sent dos elements no nuls de $A_{1}$, $A_{2}$ respectivament, es té: $\ (a_{1};0)\cdot (0;a_{2})=(0;0)$.

Propietat universal de la suma directa

Sigui $A$ un anell; sigui $(M_{i})_{i\in I}$ una família d'A-mòduls, $N$ un A-mòdul; sigui $(f_{i}:M_{i}\longrightarrow N)_{i\in I}$ una família d'aplicacions lineals.

Llavors existeix una única aplicació $\phi :\bigoplus _{i\in I}^{ext}M_{i}\longrightarrow N$ A-lineal tal que: $\forall i\in I$, $\phi \circ q_{i}=f_{i}$ amb ${\begin{matrix}q_{i}:&M_{i}&\longrightarrow &\prod _{k\in I}M_{k}\\&x_{i}&\mapsto &(x_{i}\delta _{ik})_{i\in I}\\\end{matrix}}$ l'aplicació injectiva canònica.

Demostracions

Per anàlisi síntesi:

• Se Suposa que un tal $\phi$ existeix. Sigui $(x_{i})_{i\in I}\in \bigoplus _{i\in I}^{ext}X_{i}$; es té:

${\begin{matrix}q_{i}:&X_{i}&\longrightarrow &\bigoplus _{k\in I}^{ext}X_{k}\\&x_{i}&\mapsto &(x_{i}\delta _{ik})_{i\in I}\\\end{matrix}}$ avec $\delta _{ik}$ symbole de Kronecker; on a : $\phi \circ q_{i}(x_{i})=\phi (0,...,0,x_{i},0,...,0)=f_{i}(x_{i})$ et, pour $(n,m)\in I^{2}$, $\phi ((x_{n}+x_{m})=\phi ((x_{n},0)+(0,x_{m}))=f_{n}(x_{n})+f_{m}(x_{m})$ par A-linéarité, donc $\phi ((x_{i})_{i\in I})=\phi (\sum _{k\in I}x_{k}\delta _{ik})=\sum _{i\in I}f_{i}(x_{i})$ ce qui assure l'unicité de $\phi$

• Es posa per tant ${\begin{matrix}\phi :&\bigoplus _{i\in I}^{ext}X_{i}&\longrightarrow &Y\\&(x_{i})_{i\in I}&\mapsto &\sum _{i\in I}f_{i}(x_{i})\\\end{matrix}}$; sent els $f_{i}$ lineals, $\phi$ és lineal.

Sigui $x_{i}\in X_{i}$, es té: $\phi \circ q_{i}(x_{i})=\phi (0...,0,x_{i},0...,0)=\sum _{k\in I}f_{k}(x_{k})=f_{i}(x_{i})$; així és té $\phi \circ q_{i}=f_{i}$, per tant $\phi$ existeix també.

Vegeu també

• Espai vectorial
• Suma (categoria)