Obre el menú principal

En les matemàtiques, un producte escalar —també conegut com a producte interior o punt— és una operació algebraica entre dos vectors que resulta en un escalar. Aquesta operació permet treballar i estendre les nocions de la geometria euclidiana com ara la norma, l'angle o la distància en espais vectorials de dimensió més gran que tres o sobre el cos del complexos.

Definició del producte escalarModifica

Sigui   un espai vectorial real. Un producte escalar a   és una forma bilineal simètrica:

 

definida positiva. És a dir, que compleix

 
 

Si   és un espai vectorial complex, un producte escalar és una forma sesquilineal hermítica:

 

definida positiva.


El conjunt format per un espai vectorial i un producte escalar determina una estructura algebraica anomenada espai euclidià. Cal notar que diferents productes escalars sobre un mateix espai vectorial determinen diferents espais euclidians i que conceptes com ara l'angle, la norma euclidiana o la distància depenen del producte escalar definit.

Definició del producte escalar usual o canònic a RnModifica

Un producte escalar especialment important pel seu ús a la Física i a la Geometria euclidiana és l'anomenat producte escalar usual o canònic sobre l'espai vectorial  .

 
θ és l'angle entre els dos vectors

El producte escalar de dos vectors   i   pertanyents a   és un escalar en R definit com:

 


On θ és l'angle no orientat entre els dos vectors i   i   són els mòduls dels vectors.

La notació habitual és el punt   per distingir-lo de l'aspa o el circumflex que s'usen per al producte vectorial de dos vectors.

En el cas que els vectors estiguin expressats com a coordenades en una base ortonormal això és, ortogonal i unitària (és a dir, base amb vectors de mòdul = 1 i que són perpendiculars entres si), el producte escalar també pot calcular-se a partir de dites coordenades com:

 


Per exemple, el producte escalar de dos vectors en   [1, 4, -3] i [2, −1, -2] és:

 


Usant el producte matricial i tractant els vectors columna com matrius n×1, el producte escalar es pot escriure com:

 


on AT denota la transposada de la matriu A.

Usant l'exemple anterior, això resultaria en una matriu 1×3 (vector fila) multiplicat per un vector 3×1 (que com a multiplicació de matrius resultaria en una matriu 1×1, és a dir un escalar):

 

Interpretació geomètricaModifica

 
| |•cos(θ) és la projecció escalar de   sobre  

A l'espai euclidià hi ha una forta relació entre el producte escalar, les longituds dels vectors i l'angle que formen.

De l'equació abans esmentada:

 

es deriva que l'angle entre els dos vectors és:

 


Com cos 90° = 0, si els vectors són ortogonals, el seu producte escalar és nul.

El mòdul d'un vector es pot trobar com:

 


El mòdul correspon a la longitud del vector.

Com   és la projecció escalar del vector   sobre el vector  , el producte escalar es pot entendre com el producte d'aquesta projecció per la longitud de  .

Propietats del producte escalarModifica

Commutativa:

 


Distributiva:

 


Associativa:

La propietat associativa no té sentit pel producte escalar perquè l'operació   és indefinida, ja que   és un escalar.

Malgrat tot, el producte escalar té la següent propietat:

 


on m és un escalar.

El producte escalar és invariant a rotacions dels vectors.

Enllaços externsModifica

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Producte escalar  

Vegeu tambéModifica