Producte escalar

En les matemàtiques, un producte escalar —també conegut com a producte interior o punt— és una operació algebraica entre dos vectors que resulta en un escalar. Aquesta operació permet treballar i estendre les nocions de la geometria euclidiana com ara la norma, l'angle o la distància en espais vectorials de dimensió més gran que tres o sobre el cos del complexos.

Definició del producte escalar

Sigui $E$ un espai vectorial real. Un producte escalar a $E$ és una forma bilineal simètrica:

$<\,\ >:E\times E\longrightarrow \mathbb {R} \,$

definida positiva. És a dir, que compleix

$<u,u>\ \geq 0,\forall u\in \mathbb {E}$

$<u,u>\ =0\Leftrightarrow u={\vec {0}}$

Si $E$ és un espai vectorial complex, un producte escalar és una forma sesquilineal hermítica:

$<\,\ >:E\times E\longrightarrow \mathbb {C} \,$

definida positiva.

El conjunt format per un espai vectorial i un producte escalar determina una estructura algebraica anomenada espai euclidià. Cal notar que diferents productes escalars sobre un mateix espai vectorial determinen diferents espais euclidians i que conceptes com ara l'angle, la norma euclidiana o la distància depenen del producte escalar definit.

Definició del producte escalar usual o canònic a ℝⁿ

Un producte escalar especialment important pel seu ús a la Física i a la Geometria euclidiana és l'anomenat producte escalar usual o canònic sobre l'espai vectorial $R^{n}$.

θ és l'angle entre els dos vectors

El producte escalar de dos vectors ${\vec {A}}$ i ${\vec {B}}$ pertanyents a $R^{n}$ és un escalar en ℝ definit com:

${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=|{\vec {A}}||{\vec {B}}|\cos \theta$

On θ és l'angle no orientat entre els dos vectors i $|{\vec {A}}|$ i $|{\vec {B}}|$ són els mòduls dels vectors.

La notació habitual és el punt $\cdot$ per distingir-lo de l'aspa o el circumflex que s'usen per al producte vectorial de dos vectors.

En el cas que els vectors estiguin expressats com a coordenades en una base ortonormal això és, ortogonal i unitària (és a dir, base amb vectors de mòdul = 1 i que són perpendiculars entres si), el producte escalar també pot calcular-se a partir de dites coordenades com:

${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=[a_{1},a_{2},a_{3}]\cdot [b_{1},b_{2},b_{3}]=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$

Per exemple, el producte escalar de dos vectors en $\mathbb {R} ^{3}$ [1, 4, -3] i [2, −1, -2] és:

${\begin{bmatrix}1&4&-3\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&-1&-2\end{bmatrix}}=(1)(2)+(4)(-1)+(-3)(-2)=4.$

Usant el producte matricial i tractant els vectors columna com matrius n×1, el producte escalar es pot escriure com:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {A} ^{T}\mathbf {B} \,$

on A^T denota la transposada de la matriu A.

Usant l'exemple anterior, això resultaria en una matriu 1×3 (vector fila) multiplicat per un vector 3×1 (que com a multiplicació de matrius resultaria en una matriu 1×1, és a dir un escalar):

${\begin{bmatrix}1&4&-3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2\\-1\\-2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4\end{bmatrix}}.$

Interpretació geomètrica

|${\vec {A}}$|•cos(θ) és la projecció escalar de ${\vec {A}}$ sobre ${\vec {B}}$

A l'espai euclidià hi ha una forta relació entre el producte escalar, les longituds dels vectors i l'angle que formen.

De l'equació abans esmentada:

${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=|{\vec {A}}||{\vec {B}}|\cos \theta$

es deriva que l'angle entre els dos vectors és:

$\theta =\arccos \left({\frac {{\vec {A}}\cdot {\vec {B}}}{|{\vec {A}}|\cdot |{\vec {B}}|}}\right)$

Com cos 90° = 0, si els vectors són ortogonals, el seu producte escalar és nul.

El mòdul d'un vector es pot trobar com:

$|{\vec {A}}|={\sqrt {{\vec {A}}\cdot {\vec {A}}}}$

El mòdul correspon a la longitud del vector.

Com $|{\vec {A}}|\cos \theta$ és la projecció escalar del vector ${\vec {A}}$ sobre el vector ${\vec {B}}$, el producte escalar es pot entendre com el producte d'aquesta projecció per la longitud de ${\vec {B}}$.

Propietats del producte escalar

Commutativa:

${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}={\vec {B}}\cdot {\vec {A}}$

Distributiva:

${\vec {A}}\cdot ({\vec {B}}+{\vec {C}})={\vec {A}}\cdot {\vec {B}}+{\vec {A}}\cdot {\vec {C}}$

Associativa:

La propietat associativa no té sentit pel producte escalar perquè l'operació $({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})\cdot {\vec {C}}$ és indefinida, ja que $({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})$ és un escalar.

Malgrat tot, el producte escalar té la següent propietat:

$m({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})=(m{\vec {A}})\cdot {\vec {B}}={\vec {A}}\cdot (m{\vec {B}})$

on m és un escalar.

El producte escalar és invariant a rotacions dels vectors.

Enllaços externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Producte escalar

• «Dot product» (en anglès). http://mathworld.wolfram.com/.+[Consulta: 19 novembre 2013].

Vegeu també

• Espai vectorial
• Combinació lineal
• Sistema generador
• Independència lineal
• Matriu de Gram
• Base (àlgebra)
• Base Ortogonal
• Base Ortonormal
• Coordenades cartesianes
• Producte vectorial
• Producte mixt
• Producte tensorial