En àlgebra lineal, la matriu de Gram d'un conjunt de vectors en un espai prehilbertià, és la matriu que defineix el producte escalar, les entrades del qual vénen donades per . El seu nom és degut al matemàtic danès Jørgen Pedersen Gram.

PropietatsModifica

Una matriu de Gram, G, és una matriu quadrada real que compleix les següents propietats:

 
  • És una matriu semidefinida positiva, i totes les matrius semidefinides positives són la matriu de Gram d'algun conjunt de vectors. Aquest conjunt generalment no és únic: la matriu de Gram de qualsevol base ortonormal és una matriu identitat. L'analogia en dimensió infinita d'això seria el Teorema de Mercer.
  • El primer element és positiu o nul.
 
  • Els seus determinants principals són positius o nuls.
  1.  
  2.  

AplicacionsModifica

Una de les aplicacions més importants d'aquesta matriu és la comprovació de la independència lineal: un conjunt de vectors serà linealment independent si i només sí el determinant de Gram no és nul.

Determinant de GramModifica

El determinant de Gram és el determinant de la matriu de Gram:

 

Geomètricament, el determinant de Gram és el quadrat del volum d'un paral·lelepípede format pels vectors. En particular, els vectors són linealment independents si i només si el determinant de la matriu de Gram no és zero (si i només si la matriu de Gram no és singular).

ExemplesModifica

Normalment, els vectors són elements d'un espai euclidià, o funcions d'un espai L2, tals com funcions contínues en un interval tancat  .

Donada una funció de variable real   definida en un interval  , la matriu de Gram  , es defineix com el producte escalar estàndard de funcions:  .

Donada una matriu A, la matriu   és la matriu de Gram de les columnes de A, mentre que la matriu   és la matriu de Gram de les files de A.

Per a una forma bilineal B definida en un subespai vectorial de dimensió finita, es defineix la matriu de Gram G associada a un conjunt de vectors  , com  . Aquesta matriu sería la simètrica si la forma bilineal B ho fos.

Enllaços externsModifica