Espai prehilbertià

Un espai prehilbertià o espai prehilbert és un espai vectorial proveït d'un producte escalar. Més concretament, és un parell , on és un espai vectorial sobre un cos i és un producte escalar en .

Interpretació geomètrica de l'angle que formen dos vectors defenit usant el producte escalar.

L'espai prehilbertià és un tipus d'espai mètric amb la mètrica induïda per la norma que es pot definir a partir del producte escalar. Un espai prehilbertià que a més sigui un espai complet és un espai de Hilbert o hilbertià. Si és de dimensió finita e aleshores és un espai euclidià.

Una condició necessària perquè un espai prehilbertià sigui un espai de Hilbert és que el cos base sigui o , així cap espai prehilbertià sobre pot ser un espai de Hilbert.

DefinicióModifica

Formalment, un espai prehilbertià és un espai vectorial V sobre un cos   (Pot ser   o  ), el qual té una operació definida amb la següent funció:

 

anomenada producte escalar, que satisfà certs axiomes:

 
Si K = R, la propietat de hermítica és la simetria ordinària:
 
Aquesta condició implica que   per a tot  , perquè  .
 
 
Combinant aquesta propietat amb la de ser hermítica:
 
 
En el cas que el cos sigui   aquesta propietat implica que el producte escalar és bilineal.
  (Té sentit, ja que   per a tot  .)
A més, l'únic vector que en fer el producte escalar amb ell mateix és zero, és el vector nul. Això s'expressa així:
 

Normes en espais prehilbertiansModifica

En els espais amb producte escalar es defineix una norma

 

La norma està ben definida, per ser sempre el producte escalar d'un vector per si mateix un nombre real més gran o igual que zero. A espais euclidians defineix la "longitud" del vector x. A més es tracta d'una norma per complir les condicions:

  •   és sempre positiva i val zero si i només si x val zero.
 
 

Usant els axiomes ja esmentats es poden demostrar els següents teoremes:

 
La igualtat es compleix si i només si x i i són linealment dependents
Aquesta és una de les més importants desigualtats en la matemàtica. També és coneguda en la literatura matemàtic russa com la desigualtat Cauchy-Bunyakowski-Schwarz
La prova d'aquest teorema i les seves aplicacions poden trobar al article sobre la desigualtat de Cauchy-Schwarz
 
 
Aquestes últimes dues identitats només requereixen expressar la definició de la norma en termes del producte intern, fer les operacions i usar els axiomes de norma.
Una generalització fàcil del teorema pitagòric que pot ser provada per inducció és la següent:
  • Si x 1 , ..., x n són vectors ortogonals, o sigui, < x j , x k > = 0 per a tot j , k diferent, llavors
 

ExemplesModifica

  • Un exemple trivial són els nombres reals amb la multiplicació estàndard com a producte intern.
 
  • Més generalment, qualsevol espai euclidià Rn amb el producte escalar és un espai amb producte intern.
 
Es té la norma:
 

BibliografiaModifica

Vegeu tambéModifica

Enllaços externsModifica