Espai de Hilbert

espai euclidià que permet la seva apliació a espais de dimensió arbitrària

En matemàtiques, el concepte d'espai de Hilbert és una generalització del concepte d'espai euclidià. Aquesta generalització permet que nocions i tècniques algebraiques i geomètriques aplicables a espais de dimensió dos i tres s'estenguin a espais de dimensió arbitrària, incloent espais de dimensió infinita. Exemples de tals nocions i tècniques són la d'angle entre vectors, ortogonalitat de vectors, el teorema de Pitàgores, projecció ortogonal, distància entre vectors i convergència d'una successió. El nom donat a aquests espais és en honor del matemàtic David Hilbert qui els va utilitzar en el seu estudi de les equacions integrals.

Més formalment, es defineix com un espai de producte interior que és complet respecte a la norma vectorial definida pel producte interior. Els espais de Hilbert serveixen per aclarir i generalitzar el concepte de sèries de Fourier, certes transformacions lineals tals com la transformació de Fourier hi són d'importància crucial en la formulació matemàtica de la mecànica quàntica.

Els espais de Hilbert i les seves propietats s'estudien dins de l'anàlisi funcional.

Descripció formalModifica

Un espai de Hilbert és un espai vectorial complet proveït d'un producte escalar. Per definició, doncs, també és un espai de Banach. A causa de la presència d'un producte interior, un espai de Hilbert té propietats geomètriques útils addicionals que no es troben en un espai de Banach; aquestes propietats es poden aprofitar per simplificar l'anàlisi o obtenir resultats més forts. Per exemple, en un espai de Hilbert existeixen operadors de projecció sobre subespais tancats de l'espai, fet que fa que aquests siguin molt importants en certes branques de les matemàtiques, com ara les teories d'optimització i aproximació.

Tot espai de Hilbert és isomòrfic al seu espai dual. A més, un espai de Hilbert és real quan aquest equival al seu propi espai dual. Segons el teorema de representació de Riesz, tota funció lineal contínua complexa sobre un espai de Hilbert real pot ser expressada com el producte interior d'elements d'aquell espai amb algun element fix de l'espai.

Utilitats en física quànticaModifica

Els espais de Hilbert tenen un paper fonamental en la teoria física de la mecànica quàntica. Es postula que l'estat en la representació d'Schrödinger d'un sistema mecànic quàntic correspon a un vector unitari d'un espai de Hilbert, i les quantitats físiques "observables" es postulen com a operadors autoadjunts en aquest espai. Els estats serveixen per assignar propietats estadístiques als observables del sistema.[1]

ReferènciesModifica

  1. «Why is the Hilbert's space useful in quantum mechanics?». Research Gate. [Consulta: 21 setembre 2021].

BibliografiaModifica

  • Carl B. Boyer. History of Mathematics. 2a ed.. Nova York: John Wiley & Sons, 1989. ISBN 0-471-54397-7. 
  • Jean Dieudonné. Foundations of Modern Analysis. Academic Press, 1960. 
  • Avner Friedman. Foundations of Modern Analysis. Nova York: Courier Dover Publications, 1982. ISBN 0-486-64062-0. 

Vegeu tambéModifica