Producte escalar

operació algebraica que pren dues seqüències de nombres d'igual longitud i retorna un únic nombre
(S'ha redirigit des de: Producte interior)

En les matemàtiques, un producte escalar —també conegut com a producte interior o punt— és una operació algebraica entre dos vectors que resulta en un escalar. Aquesta operació permet treballar i estendre les nocions de la geometria euclidiana com ara la norma, l'angle o la distància en espais vectorials de dimensió més gran que tres o sobre el cos del complexos.

Definició del producte escalar Modifica

Sigui   un espai vectorial real. Un producte escalar a   és una forma bilineal simètrica:

 

definida positiva. És a dir, que compleix

 
 

Si   és un espai vectorial complex, un producte escalar és una forma sesquilineal hermítica:

 

definida positiva.


El conjunt format per un espai vectorial i un producte escalar determina una estructura algebraica anomenada espai euclidià. Cal notar que diferents productes escalars sobre un mateix espai vectorial determinen diferents espais euclidians i que conceptes com ara l'angle, la norma euclidiana o la distància depenen del producte escalar definit.

Definició del producte escalar usual o canònic a ℝn Modifica

Un producte escalar especialment important pel seu ús a la Física i a la Geometria euclidiana és l'anomenat producte escalar usual o canònic sobre l'espai vectorial  .

 
θ és l'angle entre els dos vectors

El producte escalar de dos vectors   i   pertanyents a   és un escalar en ℝ definit com:

 


On θ és l'angle no orientat entre els dos vectors i   i   són els mòduls dels vectors.

La notació habitual és el punt   per distingir-lo de l'aspa o el circumflex que s'usen per al producte vectorial de dos vectors.

En el cas que els vectors estiguin expressats com a coordenades en una base ortonormal això és, ortogonal i unitària (és a dir, base amb vectors de mòdul = 1 i que són perpendiculars entres si), el producte escalar també pot calcular-se a partir de dites coordenades com:

 


Per exemple, el producte escalar de dos vectors en   [1, 4, -3] i [2, −1, -2] és:

 


Usant el producte matricial i tractant els vectors columna com matrius n×1, el producte escalar es pot escriure com:

 


on AT denota la transposada de la matriu A.

Usant l'exemple anterior, això resultaria en una matriu 1×3 (vector fila) multiplicat per un vector 3×1 (que com a multiplicació de matrius resultaria en una matriu 1×1, és a dir un escalar):

 

Més generalment, el producte escalar de dos vectors de   dimensions   i  , especificat en termes d'una base ortonormal, és definit com:[1]

 

on   denotea el sumatori i   és la dimensió de l'espai vectorial.

Interpretació geomètrica Modifica

 
| |•cos(θ) és la projecció escalar de   sobre  

A l'espai euclidià hi ha una forta relació entre el producte escalar, les longituds dels vectors i l'angle que formen.

De l'equació abans esmentada:[2][3][4]

 

es deriva que l'angle entre els dos vectors és:

 


Com cos 90° = 0, si els vectors són ortogonals, el seu producte escalar és nul.

El mòdul d'un vector es pot trobar com:

 


El mòdul correspon a la longitud del vector.

Com   és la projecció escalar del vector   sobre el vector  , el producte escalar es pot entendre com el producte d'aquesta projecció per la longitud de  .

Propietats del producte escalar Modifica

El producte escalar compleix les següents propietats si  ,  , i   són vectors reals i  ,   i   són escalars.[1][2]

 

que és una conseqüència de la definició (  és l'angle entre   i  ):[5]

 
 

La propietat associativa no té sentit pel producte escalar perquè l'operació   és indefinida, ja que   és un escalar.[6]

Malgrat tot, el producte escalar té la següent propietat:

 

on m és un escalar.[7][8]

El producte escalar és invariant a rotacions dels vectors.

 

Producte triple Modifica

Hi ha dues operacions ternàries que impliquen el producte escalar i el producte vectorial.

Es defineix el producte esclar triple (o producte mixt) de tres vectors com

 

El seu valor és el determinant de la matriu les columnes de les quals són les coordenades cartesianes dels tres vectors. És el volum amb signe del paral·lelepípede definit pels tres vectors, i és isomòrfic al cas particular tridimensional del producte exterior dels tres vectors.

El producte vectorial triple és definit com[1][2]

 

Aquesta identitat, també coneguda com la fórmula de Lagrange, es pot recordar com "ACB menys ABC", tenint en compte quins vectors es multipliquen primer. Aquesta fórmula té aplicacions en la simplificació de càlculs en física.

Generalitzacions Modifica

Vectors complexos Modifica

Espais prehilbertians Modifica

El producte escalar es pot generalitzar a espais vectorials abstractes sobre el cos dels escalars, ja sigui el cos dels nombres reals   o el cos dels nombres complexes  . Normalment es denotan utilitzant claudàtors angulars  .

El producte escalar de dos vectors sobre el cos dels nombres complexos és, en general, un nombre complex, i és sesquilineal en lloc de bilineal. Un espai prehilbert és un espai vectorial normat, i el producte esclar d'un vector amb ell mateix és real i definit positiu.

Funcions Modifica

Funció ponderada Modifica

Els productes escalars poden tenir una funció de pes (és a dir una funció que pondera cada terme del productes escalar amb un valor). Explícitament, el producte escalar de les funcions   i   respecte la funció de pes   és

 

Diàdics i matrius Modifica

Tensors Modifica

El producte escalar entre un tensor d'ordre   i un tensor d'ordre   és un tensor d'ordre  .

Referències Modifica

  1. 1,0 1,1 1,2 S. Lipschutz; M. Lipson Linear Algebra (Schaum's Outlines). 4th. McGraw Hill, 2009. ISBN 978-0-07-154352-1. 
  2. 2,0 2,1 2,2 M.R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman Vector Analysis (Schaum's Outlines). 2nd. McGraw Hill, 2009. ISBN 978-0-07-161545-7. 
  3. A I Borisenko; I E Taparov Vector and tensor analysis with applications. Dover, 1968, p. 14. 
  4. «Dot Product». [Consulta: 6 setembre 2020].
  5. Nykamp, Duane. «The dot product». [Consulta: 6 setembre 2020].
  6. Weisstein, Eric W. "Dot Product." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/DotProduct.html
  7. T. Banchoff. Linear Algebra Through Geometry. Springer Science & Business Media, 1983, p. 12. ISBN 978-1-4684-0161-5. 
  8. A. Bedford. Engineering Mechanics: Statics. 5th. Prentice Hall, 2008, p. 60. ISBN 978-0-13-612915-8. 

Enllaços externs Modifica

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Producte escalar

Vegeu també Modifica