Obre el menú principal

Sèrie de Fourier

(S'ha redirigit des de: Sèries de Fourier)

En matemàtiques, una sèrie de Fourier descompon una funció periòdica en una suma de funcions oscil·latòries simples: el sinus i el cosinus. L'estudi de les sèries de Fourier forma part de l'anàlisi de Fourier. Les sèries de Fourier foren introduïdes per Joseph Fourier (1768–1830) amb l'objectiu de solucionar una equació de la calor en un plat metàl·lic. Va suposar una revolució dins les matemàtiques, forçant els matemàtics a reexaminar els fonaments de les matemàtiques i portant a la descoberta de teories modernes com la Integral de Lebesgue. Joseph Fourier va ser el primer que va estudiar tals sèries sistemàticament, publicant els seus resultats inicials el 1807 i 1811. Aquesta àrea d'investigació sovint s'anomena anàlisi harmònica.

Transformades de Fourier
Transformada de Fourier continua
Sèrie de Fourier
Transformada Discreta de Fourier
Transformada de Fourier en Temps Discret
Les primeres quatre aproximacions per a una funció periòdica esglaonada

Amb aquesta eina podrem analitzar un senyal periòdic en termes del seu contingut freqüencial o espectre. Ens permetrà establir la dualitat entre temps i freqüència, així, operacions realitzades en el domini temporal tindran també el seu dual en el domini freqüencial.

La sèrie de Fourier té aplicacions en moltes branques de l'enginyeria, a més de ser una eina molt útil en la teoria matemàtica abstracta. Àrees d'aplicació inclouen anàlisi de les vibracions, acústica, òptica, processament del senyal, processament d'imatge, etc. En enginyeria, per al cas dels sistemes de telecomunicacions, i a través de l'ús dels components espectrals de freqüència d'un senyal donat, es pot optimitzar el disseny d'un sistema per al senyal portador d'aquest.

Evolució històricaModifica

ContextModifica

Donada una funció periòdica f(t), per exemple de període  , es desitja escriure-la com una combinació en la qual intervinguin únicament sinus i cosinus, que són les funcions de període 2  simples més conegudes:

 

Aquesta sèrie rep el nom de sèrie trigonomètrica o Sèrie de Fourier.

 
Jean Baptiste Joseph Fourier, matemàtic i físic francès, autor de la Sèrie de Fourier

El problema de la representació d'una funció mitjançant una sèrie trigonomètrica sorgeix de la resolució d'equacions en derivades parcials. Pels voltants del 1750, J. d'Alembert, D. Bernoulli i L. Euler van estudiar l'equació d'ones que governa el problema de la corba vibrant, un problema plantejat i estudiat per B. Taylor que havia obtingut solucions en forma de funcions sinusoïdals. D'Alembert va donar una solució molt general i Euler va provar que si a l'instant inicial de la forma de la corda apareix una combinació finita de sinus, llavors esdevindria el mateix que en qualsevol altre instant posterior, publicant molt més tard, el 1777, les fórmules que permetien calcular els coeficients de la combinació. El 1753, Bernoulli va utilitzar aquesta representació per resoldre el problema de la corda vibrant per una posició inicial qualsevol, però la seva solució va suscitar molta controvèrsia. Va ser J. B. Fourier qui va reprendre un altre cop les idees d'Euler i Bernoulli i va obtenir resultats molt ajustats els experiments, col·locant l'estudi de les sèries trigonomètriques – que avui dia porten el seu nom - en el centre de l'escenari matemàtic del segle XIX. La teoria de les sèries de Fourier va ser una forta influència per l'anàlisi matemàtica i és avui una eina bàsica de l'enginyeria de telecomunicacions.

PeriodicitatModifica

En el camp de la teoria del senyal i la comunicació, quan t és la variable temporal, es diu que f(t) és un senyal periòdic en temps continu, i quan aquesta representació en sèrie de funcions trigonomètriques és correcta, es pot dir que s'ha descompost el senyal en harmònics. A continuació s'estudia més a fons com calcular els coeficients, alguns exemples i algunes propietats, i també la notació exponencial de les sèries de Fourier. Finalment, es consideraran senyals periòdics perquè resultaran més senzills pel seu estudi. Recordem que:

  és periòdica de període  

si és tal que

 

Pels casos en què les funcions no compleixen la periodicitat s'introdueix la Transformada de Fourier, que, encara que comparteix moltes característiques i propietats amb la Transformada de Laplace, s'utilitza en contextos diferents.

DefinicióModifica

  • Les Sèries de Fourier descriuen els senyals periòdics com a combinació de senyals harmònics (sinusoïdals).
  • Amb aquesta eina es pot analitzar un senyal periòdic en termes del seu contingut freqüencial o espectre.
  • Permet establir una dualitat entre temps i freqüència, de manera que les operacions realitzades en el domini temporal tenen el seu dual en el domini freqüencial.
  • La forma trigonomètrica de les Sèries de Fourier permet descriure una funció periòdica x(t) de període T (freqüència fonamental  ).

Forma generalModifica

Sigui f(x) una funció complexa f definida en el domini dels nombres reals, on t  , definida a trossos, periòdica en f(t) amb període T, i de quadrat integrable a l'interval de   a   de durada T:

 

amb

  •  

Sèrie trigonomètrica de Fourier:

 

on els seus coeficients vénen donats per les següents expressions:

  •  , on n és el nombre d'harmònics de la funció f,
  •  , és la part parella dels coeficients de Fourier de la funció f,
  •  , és la part senar dels coeficients de Fourier de la funció f.

Forma canònicaModifica

En el cas especial de tenir un període T = 2π, es tindria que  .

En aquest cas, els coeficients de la Sèrie de Fourier es redueixen, arribant a una expressió particularment simple:

 

on

  •  
  •  

Forma exponencialModifica

Per la identitat d'Euler per l'exponencial complexa, operant adequadament, si

 

La sèrie de Fourier es pot expressar com la suma de dues sèries:

 

De manera més compacta:

 

Forma del períodeModifica

La forma pel període T, es pot derivar fàcilment al canònic amb el canvi de la variable definida per  . Per tant, les dues formulacions són equivalents. A pesar de tot, la forma pel període T s'utilitza majoritàriament a la pràctica per la seva aplicació directa. A la teoria, sempre és preferible utilitzar la forma canònica atès que és més elegant i més fàcil d'interpretar matemàticament.

PropietatsModifica

  • Superposició
 
  • Derivada
 
  • Integral
 
  • Retard
 
  • Escalat
  harmònics en  
 
  • Modulació
 
 
  • Convolució
 
 

ExempleModifica

Escriure la Sèrie de Fourier corresponent a la funció f definida a continuació, a l'interval   < x <  :

 

Els coeficients de Fourier són:

 
Fig.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 


on n =1, 2,... Per tant, a l'interval  ,

 

Es veu així per què aquesta Sèrie de Fourier convergeix a f(x) quan  . Així mateix aquesta sèrie representa l'extensió periòdica de la funció f indicada a les línies de punts de la Fig.1. La funció periòdica és discontínua en els punts  . La teoria mostrarà que la suma de la sèrie a cadascun d'aquests punts ha de ser  . Una petita indicació de la convergència de la sèrie a f(x), és que es poden sumar alguns termes de la sèrie per composició d'ordenades. Es trobarà, per exemple, que la gràfica de la funció és una aproximació ondulada de la gràfica de la Fig. 1  .

Convergència de la Sèrie de FourierModifica

Sigui   contínua a trossos i periòdica de període T, i sigui

 

on   és la seva Sèrie de Fourier. P.G.L. Dirichlet el 1829 va demostrar satisfactòriament que un grup específic de funcions, són iguals a la suma de les seves sèries de Fourier.

Condicions de DirichletModifica

Sigui   una funció periòdica de període T. Llavors, f satisfà les condicions de Dirichlet si cada període de la funció   és continu excepte un nombre finit de discontinuïtats de salt. En particular es pot demostrar, que si una funció periòdica és tal que ella i la seva derivada estan definides i són contínues excepte en un nombre finit de discontinuïtats de salt, llavors aquesta funció verifica les condicions de Dirichlet.

Teorema de convergència de DirichletModifica

Sigui   una funció periòdica de període T que satisfà les condicions de Dirichlet i sigui

 

on   és la seva Sèrie de Fourier.

  • Si f és contínua en un punt t, llavors la Sèrie de Fourier convergeix en aquest punt a f(t), o sigui
 
  • Si f té una discontinuïtat de salt en un punt t, llavors la sèrie convergeix en aquest punt vers el punt mitjà del salt, o sigui
 

on   indica el límit de f a t per l'esquerra i   indica el límit de f a t per la dreta.

El teorema indica que si f satisfà les condicions de Dirichlet i es redefineix el valor de f a cada punt de la discontinuïtat com el punt mitjà del salt, és a dir  , llavors la suma de la Sèrie de Fourier coincideix amb f(t) a cada  . Suposant que això es compleixi, es pot afirmar que la condició s'acompleix.

Convergència uniforme de les sèries de Fourier[1]Modifica

Si es compleix que la funció  , de període a, és diferenciable en l'interval [0,a], excepte potser en un nombre finit de punts, i la derivada   és contínua, aleshores:

1- La sèrie de Fourier de   s'obté derivant terme a terme els coeficients de la sèrie de Fourier de  .

2- Els coeficients de Fourier de   satisfan:

 

3- La sèrie de Fourier de   convergeix uniformement cap a   en  .

Fenomen de GibbsModifica

 
Fenomen de Gibbs

El teorema de Dirichlet diu que en els punts de discontinuïtat, la gràfica de la suma de la Sèrie de Fourier passa per un punt entremig del salt. Si es dibuixen les sumes parcials es veu que els voltants dels punts de discontinuïtat es redueix la velocitat de convergència de la sèrie i que la gràfica de la suma parcial oscil·la al voltant de la gràfica de la funció. Quan augmenta el nombre de termes, les oscil·lacions es condensen a ambdós costats del punt, però la seva amplitud no decreix. Això es coneix com el fenomen de Gibbs, en honor a J.W. Gibbs, que el 1899 va provar que l'amplitud l'oscil·lació a cada costat de la gràfica d'una funció tendeix a ser   vegades la mida del salt, és a dir, aproximadament el 9%.

Aplicacions Sèrie de FourierModifica

  • Generació de formes d'ona de corrent o tensió elèctrica per mitjà de la superposició de sinusoides generades per oscil·ladors electrònics d'amplitud variable de les quals les freqüències ja estan determinades.
  • Anàlisi en el comportament harmònic d'un senyal.
  • Reforçament de senyals.
  • Estudi de la resposta en el temps d'una variable circuital elèctrica on el senyal d'entrada no és sinusoidal o cosinusoidal, mitjançant l'ús de les transformades de Laplace i de la solució en règim permanent sinusoidal en el domini de la freqüència.
  • La resolució d'algunes equacions diferencials en derivades parcials permeten solucions particulars en sèries de Fourier fàcilment computables, i per obtenir solucions pràctiques, en la teoria de la transmissió de la calor, la teoría de plaques, etc.

Algunes propietats del desenvolupament en Sèrie de FourierModifica

Derivació de les sèries de FourierModifica

Si f és una funció contínua i periòdica de període T i la seva derivada f' verifica les condicions de Dirichlet, llavors, la sèrie de Fourier de f es pot derivar terme a terme de manera que si

 

aleshores

 

per cada  

Integració de les sèries de FourierModifica

Si f és una funció contínua i periòdica de període T que verifica les condicions de Dirichlet, llavors, la sèrie de Fourier de f es pot integrar terme a terme de manera que si

 

i  , aleshores

 

S'ha d'anar amb compte, ja que al terme   fa que el membre de la dreta no sigui una Sèrie de Fourier. El teorema ens proporciona el desenvolupament en sèrie de Fourier de la funció g definida a   per   i repetida periòdicament.

Igualtat de ParsevalModifica

Article principal: Identitat de Parseval

Si f és una periòdica de període T que verifica les condicions de Dirichlet, i sigui

 

la seva Sèrie de Fourier. Aleshores

 

Quan f és un senyal periòdic de període fonamental T, aquesta igualtat es pot interpretar de la següent manera. La integral   s'anomena mitjana quadràtica o potència mitjana de f.

Notació complexa de la Sèrie de FourierModifica

Forma generalModifica

Hem vist dues maneres d'expressar la Sèrie de Fourier d'una funció periòdica de període T: en termes de sinus i cosinus

 

o bé en termes l'amplitud i fase

 

on   i els coeficients d'aquestes expressions estan relacionades de la següent manera:   i per n=1,2...

 
i
 

o bé  

i

 

A moltes aplicacions, en particular a la teoria de senyals i comunicacions, és més útil una tercera expressió, anomenada notació complexa de la sèrie de Fourier, que consisteix amb la utilització d'exponencials complexos   en lloc de   i  . Per construir-les, substituïm les expressions

 
i
 

a la sèrie  , obtenint

 

Escrivint

 ,  ,  

separant els termes que tenen índex negatiu dels que tenen índex positiu i ordenant-los, la Sèrie de Fourier queda

 

que s'anomena notació complexa de la Sèrie de Fourier de f. Els nombres   són els coeficients de Fourier de la notació complexa i es poden calcular de forma directa

  per  

En canvi si el que tenim són els coeficients   de la notació complexa, aleshores els coeficients de Fourier   i  , les amplituds i les fases vénen donades per

  i  

Aleshores, veiem, que una funció periòdica és par quan els seus coeficients de Fourier complexos són reals i que és imparell quan els seus coeficients complexos de Fourier són imaginaris purs. Quan f(t) és un senyal periòdic de període fonamental T, les components de la notació complexa es donen en freqüència  

PropietatsModifica

Suposarem que f i g són funcions periòdiques de període T (reals o complexes) que verifiquen les condicions de Dirichlet, els quals desenvolupats en notació complexa de la Sèrie de Fourier, són, respectivament,

  i  

on  

  • Linealitat: si p i q son nombres complexos
 
  • Translació en el temps:   és un nombre real.
 
  i   tenen el mateix espectre d'amplituds però fase diferent.
  • Escalat en el temps: p és un nombre real, aleshores la funció f(pt) és periòdica de període T i freqüència  .
 
  i   tenen les mateixes amplituds y fases però corresponen a freqüències diferents
  • Convolució
 
  • Multiplicació
 
  • Forma complexa de la igualtat de Parseval
 
Quan f(t) és un senyal periòdic de període fonamental T, aquesta igualtat ens diu que la potència mitjana del senyal és  . Per aquest fet, la representació dels valors   quan situem les freqüències a l'eix d'abscisses s'anomena espectre discret de potències.

ExempleModifica

 
Gràfic d'una funció periódica.
 
Animació de les 5 primeres sèries de Fourier.

Els coeficients complexos de Fourier d'un tren de polsos rectangulars, donats com l'extensió periòdica de la funció definida a l'interval de   per

 

són

 

Els valor de   són reals, el que correspon el fet que la funció sigui parella, així doncs el seu espectre de fases és   per cada n. La funció

 

s'anomena funció de mostreig (‘sa' prové de la paraula anglesa sampling) i és molt important a la teoria de senyals, precisament perquè els coeficients complexos de Fourier del tren de polsos rectangulars d'aquest exemple es poden expressar com:

 

A vegades, en lloc de la funció de mostreig es treballa amb una altra funció, anomenada sinus cardinal que es defineix com  

EnginyeriaModifica

L'anàlisi de senyals en el domini de la freqüència es realitza a través de les sèries de Fourier, ja que és molt comú, reemplaçar la variable x per ωt, resultant les components:

 

Per tant:

 

Espectre d'una funció periòdicaModifica

Sigui   una funció periòdica, de període  , que es pot escriure com:

 

Aleshores direm que la sèrie de Fourier anterior és la descomposició espectral de la funció  . El conjunt de coeficients   i   o, el conjunt de coeficients   s'anomena l'espectre de la funció  . L'espectre d'una funció, per tant, conté tota la informació d'aquesta i, si considerem la funció   com la superposició d'ones planes, l'espectre de la funció és el conjunt d'amplituds d'aquestes ones.

ExemplesModifica

Sigui la funció de període  ,  

El seu espectre és, com hem vist a abans,

  o, equivalentment  

Considerem un altre exemple senzill; sigui la funció   i  .

El seu espectre és:

 

ReferènciesModifica

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Sèrie de Fourier
  1. G. Gasquet, P.Witomski; Fourirer Analysis and Applications. Springer-Verlag, 1999; p.45.

Vegeu tambéModifica