Transformada de Laplace

tranformada integral

La transformada de Laplace d'una funció f(t) definida (en matemàtiques i, en particular, en anàlisi funcional) per a tot nombre real t, i el transforma en una variable complexa s (freqüència). La transformada de Laplace és similar a la transformada de Fourier. Mentre que la transformada de Fourier és una funció complexa d'una variable real, la transformada de Laplace és una funció complexa d'una variable complexa.[1]

Aquesta transformada integral té una sèrie de propietats que la fan útil en l'anàlisi de sistemes lineals. Un dels avantatges més significatius rau en el fet que la integració i derivació es converteixen en multiplicació i divisió. Això transforma les equacions diferencials i integrables en equacions polinòmiques, molt més fàcils de resoldre.[2]

Una altra aplicació important en els sistemes lineals és el càlcul del senyal de sortida. Aquest es pot calcular mitjançant la convolució de la resposta impulsiva del sistema amb el senyal d'entrada. La realització d'aquest càlcul a l'espai de Laplace converteix la convolució en una multiplicació, habitualment més senzilla.

La transformada de Laplace és al temps continu el que la transformada de Z és al discret.[3]

Perspectiva històricaModifica

 
Marquès Pierre-Simon de Laplace

La transformada de Laplace du el nom del matemàtic i astrònom Pierre-Simon Laplace, que va utilitzar una transformada similar en els seus estudis en teoria de la probabilitat.[4] Laplace va escriure extensivament sobre l'ús de les funcions generatrius a Essai philosophique sur les probabilités (1814), i la forma integral de la transformada de Laplace va evolucionar de forma natural com el resultat del seu estudi.[5]

L'ús de les funcions generatrius era similar al que actualment es coneix com la transformada Z, i no va dedicar gaire atenció al cas amb variable contínua que va ser estudiada per Niels Henrik Abel.[6] La teoria va ser posteriorment desenvolupada en els segles XIX i XX per Matyáš Lerch,[7] Oliver Heaviside,[8] i Thomas Bromwich.[9]

L'ús actual i extens de la transformada (principalment en enginyeria) va arribar durant els inicis i després de la Segona Guerra Mundial,[10] en substitució del càlcul operacional anterior, desenvolupat per Heaviside. Gustav Doetsch va emfasitzar les avantatges de la transformada de Laplace,[11] i va ser ell qui la va anomenar així per primer cop, aparentment.

A partir de 1744, Leonhard Euler va investigar les integrals de la forma

 
com a solucions d'equacions diferencials, però no va arribar gaire lluny.[12] Joseph Louis Lagrange era un admirador d'Euler i, en el seu treball sobre la integració de les funcions de densitat de probabilitat, va investigar expressions de la forma
 
que alguns historiadors moderns han interpretat que forma part de la teoria moderna de la transformada de Laplace.[13][14]

Aquests tipus d'integrals sembla que van atraure l'interès de Laplace primerament l'any 1782, quan, seguint l'esperit d'Euler, usava les pròpies integrals com a solucions d'equacions.[15] Tanmateix, l'any 1785, Laplace va fer un pas crític endavant quan, enlloc de simplement buscar la solució en forma d'integral, va començar a aplicar les transformades en el sentit que més endavant es faria més popular. Va utilitzar una integral de la forma

 
igual que en el cas de la transformada de Mellin, es transforma tota l'equació de diferència per tal de trobar solucions de l'equació transformada. Va anar més enllà i va aplicar la transformada de Laplace de la mateixa manera i va començar a derivar-ne algunes de les seves propietats, començant a apreciar-ne tot el seu potencial.[16]

Laplace també va reconèixer que el mètode de Joseph Fourier de les sèries de Fourier per resoldre l'equació de difusió només es podia aplicar en una regió limitada de l'espai, ja que les seves solucions estaven formades per un seguit de funcions periòdiques. L'any 1809, Laplace va aplicar la seva transformada per trobar solucions que es difonguessin indefinidament en l'espai.[17]

Definició formalModifica

per a tots els nombres reals t ≥ 0, és la funció F(s), definida per:[18]

 

sempre que la integral estigui definida.

La transformada de Laplace F(s) típicament existeix per a tots els nombres reals s > a, on a és una constant que depèn del comportament de creixement de f(t).

Degut a la injectivitat de les transformades de Laplace   és possible definir la transformada de Laplace inversa (també anomenada integral de Bromwich):

 

On  

PropietatsModifica

LinealitatModifica

 

DerivacióModifica

 
 
 
 
 
  (que creix més ràpid que  ) no poden ser obtingudes per Laplace, ja que  , no és una funció d'ordre exponencial.

IntegracióModifica

 

Producte per t^nModifica

 

Divisió per t^nModifica

 

ModulacióModifica

 

TranslacióModifica

 
 

Nota:   es la funció esglaó o funció de Heaviside.

EscalatModifica

 

Transformada de Laplace d'una funció amb període pModifica

 

Transformades comunesModifica

Potencia n-èsimaModifica

 , si  

SinusModifica

 

CosinusModifica

 

Sinus hiperbòlicModifica

 

Cosinus hiperbòlicModifica

 

Logaritme naturalModifica

 

Arrel n-èsimaModifica

 

Funció de Bessel de primera espècieModifica

 

Funció modificada de Bessel de primera espècieModifica

 

Funció errorModifica

 

ConvolucióModifica

 

Altres transformades de LaplaceModifica

Transformada de Laplace Funció en el temps
    (delta de Dirac)
    (funció esglaó)
   
   
   
   
   

Vegeu tambéModifica

ReferènciesModifica

  1. W., Weisstein, Eric. «Laplace Transform» (en anglès). mathworld.wolfram.com. [Consulta: 2 març 2017].
  2. «Laplace transform | Differential equations | Math | Khan Academy» (en anglès). www.khanacademy.org. [Consulta: 2 març 2017].
  3. Bourne, Murray. «2. Definition of the Laplace Transform» (en anglès). www.intmath.com. [Consulta: 2 març 2017].
  4. "Des Fonctions génératrices", Théorie analytique des Probabilités (2nd ed.), Paris, 1814, chap.I sect.2-20, <https://archive.org/details/thorieanalytiqu01laplgoog>
  5. Jaynes, E. T. (Edwin T.). Probability theory : the logic of science. Bretthorst, G. Larry. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2003. ISBN 0511065892. OCLC 57254076. 
  6. Abel, Niels H. (1820), "Sur les fonctions génératrices et leurs déterminantes", Œuvres Complètes, vol. II (published 1839), pàg. 77–88 1881 edition
  7. Lerch, Mathias (1903), "Sur un point de la théorie des fonctions génératrices d'Abel", Acta Mathematica 27: 339–351, DOI 10.1007/BF02421315
  8. Heaviside, Oliver (January 2008), "The solution of definite integrals by differential transformation", Electromagnetic Theory, vol. III, London, section 526, ISBN 9781605206189
  9. Bromwich, Thomas J. (1916), "Normal coordinates in dynamical systems", Proceedings of the London Mathematical Society 15: 401–448, doi:10.1112/plms/s2-15.1.401, <https://zenodo.org/record/2319588>
  10. Un llibre que va tenir molta influència va ser: Gardner, Murray F. & Barnes, John L. (1942), Transients in Linear Systems studied by the Laplace Transform, New York: Wiley
  11. Doetsch, Gustav (1937), Theorie und Anwendung der Laplacesche Transformation, Berlin: Springer traducció de 1943
  12. Euler 1744, Euler 1753, Euler 1769
  13. Lagrange 1773
  14. Grattan-Guinness 1997, p. 260
  15. Grattan-Guinness 1997, p. 261
  16. Grattan-Guinness 1997, pàg. 261–262
  17. Grattan-Guinness 1997, pàg. 262–266
  18. E. Boyce, William; C. DiPrima, Richard. Elementary Differential Equation and Boundary Value Problem (en anglès). 10a. JohnWiley & Sons, Inc, 2012, p. 312. ISBN 978-0-470-45831-0.