Llei del paral·lelogram

En matemàtiques, la llei del paral·lelogram és una llei de geometria elemental que postula que la suma dels quadrats de les longituds dels quatre costats d'un paral·lelogram és igual a la suma dels quadrats de les longituds de les dues diagonals d'aquest. Utilitzant la notació del paral·lelogram mostrat en la figura de la dreta, es pot escriure matemàticament com:

Un paral·lelogram. Els costats d'aquest es mostren en color blau i les diagonals en vermell.

En el cas que el paral·lelogram sigui un rectangle, les dues diagonals són iguals i la llei es redueix al teorema de Pitàgores.

Llei del paral·lelogram per a espais amb producte internModifica

 
Vectors involucrats en la llei del paral·lelogram

Dins dels espais proveïts de producte escalar, la definició de la llei del paral·lelogram es redueix a la identitat algebraica

 

on

 

és el producte escalar normat.

Espais vectorials normats que satisfan la llei del paral·lelogramModifica

La majoria d'espais vectorials normats reals i complexos no tenen producte intern, però tots els espais vectorials normats tenen norma (per definició), i per tant es poden avaluar les expressions a banda i banda de l'"=" de la identitat anterior. Un fet notable és que si la identitat anterior es manté, aleshores la norma ha de sorgir de la manera habitual d'algun producte intern. A més, el producte intern que es genera mitjançant la norma és únic, a conseqüència de la identitat de polarització, en el cas real, aquest ve donat per

 

o, de manera equivalent, per

 

En el cas complex, aquest ve donat per

 

Vegeu tambéModifica

Enllaços externsModifica