Llei de Grashof

La Llei de Grashof estableix que un mecanisme de quatre barres té almenys una articulació de revolució completa, si i només si la suma de les longituds de la barra més curta i la barra més llarga és menor o igual que la suma de les longituds de les barres restants.

Demostració

Anàlisi d'una articulació de revolució completa

Donat un mecanisme qualsevol de quatre barres ABCD consecutives, s'analitzés l'articulació AB. Es defineix $\alpha$ com l'angle relatiu entre les barres A i B, $\beta$ com l'angle relatiu entre C i D, i $\delta$ com la distància entre les articulacions BC i AD.

Se sap que pel teorema del cosinus:

\Delta ^{2}=A^{2}+B^{2}-2AB\cos \alpha \quad i\quad \delta ^{2}=C^{2}+D^{2}-2CD\cos \beta

sent el cosinus una funció fitada superiorment per una, es pot afirmar llavors la següent inequació:

C^{2}+D^{2}-2CD\leq \delta ^{2}

amb el desenvolupament del binomi del quadrat de la resta es dedueix (aplicant l'arrel quadrada als dos termes de la inequació):

|C-D|\leq \delta

Es pot observar també de l'anomenada desigualtat triangular que:

\Delta \leq C+D

d'ambdues es dedueix:

|C-D|\leq \delta \leq C+D

Si se suposa que l'articulació AB és de revolució completa, llavors

\Delta _{min}=|AB|\ \quad i\quad \Delta _{max}=A+B

Finalment, s'obtenen les relacions necessàries i suficients perquè l'articulació AB sigui de revolució completa:

|AB|\geq |CD|\ \quad i\quad A+B\leq C+D

.

Anàlisi d'un mecanisme de quatre barres de longituds diferents

Es pren un mecanisme de quatre barres I, II, III i IV en qualsevol ordre tal que

$I>II>III>IV\quad (1)$ (Els casos particulars s'analitzen més endavant)

Hipotèticament hi ha 6 tipus d'articulacions possibles: I * II, I * III, I * IV, II * III, II * IV i III * IV.

I de la relació (1) es desprenen:

$I+II>III+IV\quad (2)$

$I+III>II+IV\quad (3)$

$II-III<I-IV\quad (4)$

I * II no és de revolució completa doncs (2). Anàlogament (3) i (4) impedeixen que I * III i II * III ho siguin.

Analitzant l'articulació I * IV es nota que és necessari i suficient que es compleixin (4) i

$I+IV<II+III\quad (5)$

O equivalentment

$I-III<II-IV\quad (6)$

O

$I-II<III-IV\quad (7)$

Llavors són possibles articulacions de revolució completa: I * IV, doncs (4) i (5); II * IV, ja que (3) i (6), i III * IV, doncs (2) i (7).

Casos particulars

$I=II\neq III=IV\iff$

$I+II>III+IV\quad (2')$

$I+III=II+IV\quad (3')$

$II-III=I-IV\quad (4')$

I com a conseqüència l'única articulació que no és de revolució completa és la R * II

anàlogament es dedueix que si les barres són totes de la mateixa longitud totes les articulacions són de revolució completa.

Corolarios

Si compleix (5) a més del teorema es compleix que:

Si les barres són totes diferents, llavors només hi ha dues articulacions de revolució completa i articulen a la barra més petita.
Si les barres són totes iguals, totes les articulacions són de revolució completa.
Si hi ha un parell de barres iguals, i el parell de barres més grans està articulat entre si, aleshores aquesta és l'única articulació de revolució incompleta.