Obre el menú principal

En matemàtiques, la mètrica de Poincaré, anomenada així en honor del matemàtic i físic francès d'Henri Poincaré, és el tensor mètric que descriu una superfície bidimensional de curvatura negativa constant. És la mètrica natural comunament utilitzada en una varietat de càlculs en geometria hiperbòlica o superfícies de Riemann.

Hi ha tres representacions equivalents comunament utilitzades en la geometria hiperbòlica bidimensional:

A continuació es revisen aquests diversos formularis.

Contingut

Visió general de mètriques sobre superfícies de RiemannModifica

Article principal: Tensor mètric

Una mètrica en el pla complex es pot expressar generalment en la forma

 

on λ és una funció real i positiva de   i  . La longitud d'una corba γ en el pla complex es donat per

 

L'àrea d'un subconjunt del pla complex es dóna per

 

on   és el producte exterior utilitzat per construir la forma volum. El determinant de la mètrica és igual a  , de manera que l’arrel quadrada del determinant és  . La forma volum euclidià al pla és   i així s'obté

 

La funció   es diu que és el potencial de la mètrica si

 

L'operador de Laplace-Beltrami és donat per

 

La curvatura gaussiana de la mètrica és donada per

 

Aquesta curvatura és la meitat de la curvatura escalar de Ricci.

Les isometries conserven angles i longituds d'arc. A les superfícies de Riemann, les isometries són idèntiques als canvis de coordenades, és a dir, tant l'operador de Laplace-Beltrami com la curvatura són invariants sota isometries. Així, per exemple, fem que S sigui una superfície de Riemann amb mètrica   i T sigui una superfície de Riemann amb mètrica  . Llavors, un mapa

 

amb  és una isometria si i només si és conforme i si

 .

Aquí, l'exigència que el mapa sigui conforme no és més que la declaració

 

això és,

 

Element mètric i de volum en el pla de PoincaréModifica

El tensor mètric de Poincaré al model de semiplà de Poincaré es dóna en el semiplà superior   com

 

on escrivim  Aquest tensor mètric és invariant sota l'acció de SL(2,R). És a dir, si escrivim

 

per a   llavors podem resoldre-ho

 

i

 

Les transformacions infinitesimals com

 

i així

 

per tant, deixant clar que el tensor mètric és invariant sota SL(2,R).

L'element de volum invariant es dóna per

 

La mètrica és donada per

 
 

per a  

Una altra forma interessant de la mètrica es pot donar en termes de la relació creuada. Tenint en compte quatre punts   i  en el pla complex compactat  la relació creuada es defineix per

 

Llavors la mètrica es dóna per

 

Aquí,   i   són els punts finals, en la línia de nombres reals, de l'enllaç geodèsic   i  . Aquests estan numerats de manera que  es troba entre   i  .

Les geodèsiques d'aquest tensor mètric són arcs circulars perpendiculars a l'eix real (mig cercles l'origen del qual es troba a l'eix real) i línies verticals rectes que acaben en l'eix real.

Mapa conforme del pla al discModifica

Al semiplà superior es pot mapejar de manera conforme al disc unitat amb la transformació de Möbius

 

on w és el punt del disc unitat que correspon al punt z al semimplà superior. En aquest mapatge, la constant z0 pot ser qualsevol punt del semiplà superior; es mapejarà al centre del disc. L'eix real  mapeja a la vora del disc d’unitat   El nombre real constant   es pot utilitzar per girar el disc per una quantitat fixa arbitrària.

El mapatge canònic és

 

que porta i al centre del disc, i 0 a la part inferior del disc.

Element mètric i de volum al disc de PoincaréModifica

El tensor mètric de Poincaré al model de disc de Poincaré es dóna al disc unitat obert

 

per

 

L'element de volum es dóna per

 

La mètrica de Poincaré és donada per

 

per a  

Les geodèsiques d'aquest tensor mètric són arcs circulars on els extrems són ortogonals al límit del disc. Els fluxos geodèsics sobre el disc de Poincaré són fluxos d'Anosov (aquest article desenvolupa la notació per a aquests fluxos).

El model de disc perforatModifica

Un segon mapatge comú del semiplà superior a un disc és el q-mapatge

 

on q és el nome i τ és la relació de semiperíode:

  .

A la notació de les seccions anteriors, τ és la coordenada del semiplà superior  . El mapatge és al disc perforat, perquè el valor q=0 no està a la imatge del mapa.

La mètrica de Poincaré al semiplà superior indueix una mètrica al q-disc

 

El potencial de la mètrica és

 

Lema de SchwarzModifica

La mètrica de Poincaré és la disminució de la distància en funcions harmòniques. Aquesta és una extensió del lema de Schwarz, anomenat teorema de Schwarz-Ahlfors-Pick.

ReferènciesModifica

  • Hershel, M. Farkas; Irwin, Kra. Riemann Surfaces (en anglès). Nova York: Springer-Verlag, 1980. ISBN 0-387-90465-4. 
  • Jurgen, Jost. «Secció 2.3». A: Compact Riemann Surfaces (en anglès). Nova York: Springer-Verlag, 2002. ISBN 3-540-43299-X. 
  • Katok, Svetlana. Fuchsian Groups (en anglès). Chicago: University of Chicago Press, 1992. ISBN 0-226-42583-5. 

Vegeu tambeModifica