Nombre de Fermat
| Aquest article (o secció) és manifestament incomplet. |
Un nombre de Fermat, anomenat així en honor de Pierre de Fermat, qui fou el primer a estudiar aquest nombres, és un nombre natural de la forma:
on n és natural. Els nombres primers de Fermat són nombres de Fermat que a la vegada són primers.
Pierre de Fermat va conjecturar que tots els nombres naturals de la forma
amb n natural eren nombres primers (els cinc primers termes, 3 (n=0), 5 (n=1), 17 (n=2), 257 (n=3) i 65537 (n=4) ho són), però l'any 1732, Leonhard Euler va provar que no era així. En efecte, si fem n=5 s'obté un nombre compost:
- 4294967297 és el nombre més petit que, sent un nombre de Fermat, no és primer.
Actualment, només es coneixen cinc nombres primers de Fermat, que són els que ja es coneixien en temps del mateix Fermat, i, a data de gener de 2009 només es coneix la factorització completa dels dotze primers números de Fermat (des de n=0 fins a n=11). Aquestes són algunes de les conjectures que existeixen avui dia sobre aquests números:
- Només hi ha cinc números primers de Fermat (3, 5, 17, 257 i 65537)?
- Hi ha infinits cosins de Fermat?
Alguns números de Fermat i la seva factoritzacióModifica
Els nou primers nombres de Fermat són (successió A000215 a l'OEIS):
| F0 | = | 2¹ | + | 1 | = | 3 | |
| F1 | = | 2² | + | 1 | = | 5 | |
| F₂ | = | 24 | + | 1 | = | 17 | |
| F₃ | = | 28 | + | 1 | = | 257 | |
| F₄ | = | 2¹⁶ | + | 1 | = | 65,537 | |
| F₅ | = | 232 | + | 1 | = | 4,294,967,297 | |
| = | 641 × 6,700,417 | ||||||
| F₆ | = | 264 | + | 1 | = | 18,446,744,073,709,551,617 | |
| = | 274,177 × 67,280,421,310,721 | ||||||
| F₇ | = | 2128 | + | 1 | = | 340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457 | |
| = | 59,649,589,127,497,217 × 5,704,689,200,685,129,054,721 | ||||||
| F₈ | = | 2256 | + | 1 | = | 115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,937 | |
| = | 1,238,926,361,552,897 × 93,461,639,715,357,977,769,163,558,199,606,896,584,051,237,541,638,188,580,280,321 |
BibliografiaModifica
| Aquest article té bibliografia, però no se sap quina referència verifica cada part. Podeu millorar aquest article assignant cadascuna d'aquestes obres a frases o paràgrafs concrets. |
- 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer, Springer, CMS Books 9, ISBN 0-387-95332-9 (This book contains an extensive list of references.)
- S. W. Golomb, On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities, Canad. J. Math. 15(1963), 475–478.
- Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; sections A3, A12, B21.
- Florian Luca, The anti-social Fermat number, Amer. Math. Monthly 107(2000), 171-173.
- Michal Křížek, Florian Luca and Lawrence Somer(2002), On the convergence of series of reciprocals of primes related to the Fermat numbers, J. Number Theory 97(2002), 95–112.
- A. Grytczuk, F. Luca and M. Wojtowicz(2001), Another note on the greatest prime factors of Fermat numbers, Southeast Asian Bull. Math. 25(2001), 111-115.
Enllaços externsModifica
- Generalized Fermat Prime search
- http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Fermats
- http://www.prothsearch.net/fermat.html Arxivat 2016-02-10 a Wayback Machine. (Factorització dels nombres de Fermat)
- Sequence of Fermat numbers at OEIS.
- Chris Caldwell, The Prime Glossary: Fermat number at The Prime Pages.
- Luigi Morelli, History of Fermat Numbers
- John Cosgrave, Unification of Mersenne and Fermat Numbers Arxivat 2006-10-02 a Wayback Machine.
- Wilfrid Keller, Prime Factors of Fermat Numbers Arxivat 2016-02-10 a Wayback Machine.
- Weisstein, Eric W., «Fermat Number» a MathWorld (en anglès).
- Yves Gallot, Generalized Fermat Prime Search
- Mark S. Manasse, Complete factorization of the ninth Fermat number (original announcement)