Nombre pentagonal

Un nombre pentagonal és un nombre figurat que estén el concepte de nombre triangular i quadrat al pentàgon, però, a diferència dels dos primers, els patrons utilitzats en la construcció dels nombres pentagonals no són simètricament rotacionals.

Representació visual dels 6 primers nombres pentagonals.

L’n-èsim nombre pentagonal p_n és el nombre de diferents punts en un patró de punts, que consisteix en el contorn de pentàgons regulars amb costats que contenen d'1 a n punts, superposats, de forma que tenen en comú el vèrtex.

Definició

Cada nombre pentagonal p_n està definit per la següent fórmula:

$p_{n}={\frac {n(3n-1)}{2}}$

Per n ≥ 1, n ∈ N, els primers nombres pentagonals són:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117 ...

L’n-èsim nombre pentagonal és la tercera part del (3n-1)-èsim nombre triangular.

Els nombres pentagonals són importants en la teoria de particions de Leonhard Euler, tal com està expressat en el seu teorema del nombre pentagonal.

Generalitzacions

Els nombres pentagonals generalitzats són obtinguts de la fórmula descrita a dalt, però ara n pren valors de la seqüència 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4..., produint:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22...

Els nombres pentagonals no s'han de confondre amb els nombres pentagonals centrats.

Tests per nombres pentagonals

Un pot comprovar si un nombre x és un nombre pentagonal fent la següent operació:

$n={\frac {{\sqrt {24x+1}}+1}{6}}$

Si n resulta un nombre enter, llavors x és l'n-èsim nombre pentagonal. Si n no és un nombre enter, llavors x no és pentagonal.

Enllaços externs

• Pentagonal number (anglès)
• Pentagonal number theorem (anglès)