Successió de Fibonacci
successió matemàtica
(S'ha redirigit des de: Nombres de Fibonacci)
La successió de Fibonacci és una successió matemàtica de nombres naturals tal que cada un dels seus termes és igual a la suma dels dos anteriors.[1] Aquesta successió fou descrita per primera vegada per Leonardo de Pisa Fibonacci i cadascun dels seus termes rep el nom de nombre de Fibonacci.
Si es pren una successió de nombres naturals de tal forma que els dos primers termes siguin
- F(0) = 0
- F(1) = 1
i cadascun dels següents termes és la suma dels dos anteriors:
- F(n) = F(n-2) + F(n-1)
Aquesta successió és definida per recursivitat com:
Els vint primers termes d'aquesta successió són:
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |
F(n) | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 | 610 | 987 | 1597 | 2584 | 4181 | 6765 |
Propietats
modificaLa successió de Fibonacci té moltes i molt variades propietats:
- La raó (el quocient) entre un terme i l'immediatament anterior varia sempre, però tendeix cap a un nombre irracional conegut com a "raó àuria" o nombre auri, que és la solució positiva de l'equació x²-x-1=0, i es pot aproximar per 1,618033989. I, en efecte, la raó entre el 20è i el 19è terme és 1,618033963, sent la diferència de només vint-i-sis milmilionèssimes.
- A més, qualsevol nombre natural es pot escriure mitjançant la suma d'un nombre limitat de termes no consecutius de la successió de Fibonacci, cadascun d'ells diferent dels altres. Per exemple, 17=13+3+1, 65=55+8+2. Aquest teorema fou demostrat per Édouard Zeckendorf en la dècada de 1930.
- D'altra banda, només un terme de cada tres és parell, un de cada quatre és múltiple de 3, un de cada cinc és múltiple de 5, etc. Això es pot generalitzar, de forma que la successió de Fibonacci és periòdica en les congruències mòdul m, per a qualsevol m.
- Si F(p) és un nombre primer, p també és primer, amb una única excepció: F(4)=3, 3 és primer, però 4 no ho és.
- La suma infinita dels termes de la successió F(n)/10n és exactament 10/89.
Referències
modifica- ↑ Estapé Dubreuil, Glòria. Introducció al càlcul. Univ. Autònoma de Barcelona, 2007, p. 48. ISBN 8449025184.
Enllaços externs
modifica- Fibonacci and the Golden Mean Vídeo on s'explica, de forma visual, la relació entre la successió de Fibonacci i la secció àuria, a més d'altres propietats. (anglès)