Nombres de Stirling

En matemàtiques, els nombres de Stirling apareixen en una gran varietat de problemes analítics i combinatoris. Reben el seu nom del matemàtic escocès James Stirling, qui els va introduir en el segle xviii. Existeixen dos conjunts diferents de nombres de Stirling: els de primera espècie i els de segona espècie.

Notació

modifica

S'utilitzen diferents notacions per als nombres de Stirling. En general, els nombres de Stirling de primera espècie s'escriuen amb uns s minúscula, mentre que pels de segona espècie es fa servir una S majúscula. Els nombres de Stirling de segona espècie no són mai negatius, però els de primera espècie poden ser positius i negatius: per això també s'utilitza una notació específica per als nombres de primera espècie sense signe (en valor absolut). Les notacions comunament utilitzades són:

  per als nombres de Stirling de primera espècie (amb el seu signe),
  per als nombre de Stirling de primera espècie en valor absolut, (sense signe), i
  per als nombre de Stirling de segona espècie.

Alguns autors[1] fan servir una   majúscula i una   gòtica, respectivament, pels nombres de primera i segona espècie. La notació amb claus i claudàtors, en analogia amb els coeficients binomials, va ser introduïda el 1935 per Jovan Karamata i promoguda després per Donald Knuth.

Nombres de Stirling de primera espècie

modifica

Els Nombres de Stirling sense signe de primera espècie compten el nombre de permutacions de n elements en k cicles disjunts. Per exemple, si considerem el conjunt  , pot ser dividit en dos cicles de les següents onze formes:

      
     

És a dir:  , i, en general:

 

És fàcil comprovar que   i que  .

Els nombres de Stirling de primera espècie en general (que inclouen nombres negatius) són els coeficients de l'expansió de:

 

on   (un símbol de Pochhammer) denota el factorial descendent:  

Noti's que   perquè és un prodducte buit. En combinatòria també s'utilitza a vegades la notació   per a factorial descendent, i   per al factorial ascendent.[2]

Uns pocs dels nombres de Stirling de primera espècie s'il·lustren en la taula següent:

 

en la que

 

Nombres de Stirlig de segona espècie

modifica

Els nombres de Stirlig de segona espècie compten el nombre de formes de partir un conjunt de   elements entre   subconjunts no buits.[3] Per exemple, el conjunt   pot partir-se en dos subconjunts no buits de les següents set formes:

    
   

Per això,  .

És fàcil comprovar que   i que  .

Es denoten com   o  .[4] La suma

 

és l'enèsim nombre de Bell.

Utilitzant els factorials descendents, podem caracteritzar els nombres de Stirling de segona espècie amb la identitat:

 

Nombres de Lah

modifica

Els nombres de Lah   es denominen sovint nombres de Stirling de tercera espècie.[5]

Relació inversa

modifica

Els nombres de Stirling de primera i segona espècie poden ser considerats com inversos els uns dels altres:

 

i

 

on   és la delta de Kronecker. Aquestes dues relacions es poden entendre com si fossin relacions entre matrius inverses. És a dir, sigui   la més petita matriu triangular, amb elements de la matriu  . La seva matriu inversa,  , serà la més petita matriu triangular dels nombres de Stirling de segona espècie, amb elements de la matriu  .

Simbòlicament es pot escriure:

 

Encara que   i   són infinites, o sigui que calcular un producte involucra una suma infinita, el producte d'aquestes matrius es pot obtenir perquè són mínimes triangulars i només un nombre finit de termes de la suma són diferents de zero.

Una generalització d'aquesta relació d'inversió proporciona l'enllaç amb els nombres de Lah  

 

amb les convencions   i   si  .

Fórmules simètriques

modifica

Les segúents fórmules simètriques relacionen els nombres de Stirlig de primera i de segona espècie:

 

i

 

Referències

modifica
  1. Goldberg, Newman i Haynsworth, pàgina 824
  2. Aigner, Martin. A Course In Enumeration (en anglès). Springer, 2007, p. 38. ISBN 9783540390350. 
  3. Gossett, pàgina 424. Definició 8.7
  4. Graham, Ronald L; Knuth, Donald E; Patashnik, Oren. Concrete Mathematics. Reading MA: Addison-Wesley, 1988, p. 244.. ISBN 0-201-14236-8. 
  5. Sandor, Jozsef; Crstici, B. Handbook of Number Theory II, Volume 2. Dordrecht: Kluwer Academic, 2004, p. 464. ISBN 1-4020-2546-7. 

Bibliografia

modifica

Enllaços externs

modifica