Operador semisimple

En matemàtiques, i més concretament en l'àmbit de l'àlgebra lineal, la noció d'operador semisimple constitueix una generalització de matriu diagonalitzable. Permet distingir dos tipus de problemes a l'hora de generalitzar: per una banda, les dificultats vinculades a l'aritmètica del cos de coeficients al qual es considera l'operador (o la matriu), i per altra banda, les dificultats independents del cos escollit.

Una matriu A a coeficients dins un cos commutatiu K s'anomena semisimple sobre K si tot subespai invariant per A té un subespai complementari invariant per A.[1]

Un resultat important sobre operadors semisimples és que un operador lineal sobre un espai vectorial de dimensió finita sobre un cos algebraicament tancat és semisimple si i només si és diagonalitzable.[1] Això és així perquè un tal operador sempre té un vector propi; si, a més, és semisimple, llavors té un hiperplà invariant complementari, que al seu torn té un vector propi, i així per inducció és diagonalitzable. Recíprocament, és fàcil veure que els operadors diagonalitzables són semisimples, ja que els subespais invariants són suma directa d'espais propis, i qualsevol base d'aquest espai es pot estendre a una base pròpia.

Resultats generalsModifica

La semisimplicitat es pot caracteritzar amb l'ajuda del polinomi mínim de la matriu considerada: una matriu a coeficients dins K és semisimple si i només si el seu polinomi mínim no té cap factor quadrat (és a dir, no admet cap divisor que sigui el quadrat d'un altre polinomi) dins K[X].

En particular, en el cas en què totes les arrels del polinomi mínim de A pertanyin a K, l'afirmació anterior es reformula com «A és semisimple si i només si és diagonalitzable».

Si el cos de coeficients té la propietat de ser perfecte (per exemple qualsevol cos finit; o qualsevol cos de característica zero, com ara el cos dels nombres racionals o el cos dels nombres reals), és a dir, que tots els polinomis irreductibles a coeficients en aquest cos tenen només arrels simples dins una clausura algebraica del cos, aquesta caracterització es pot escriure com «una matriu és semisimple si i només si és diagonalitzable dins una clausura algebraica del cos».

Exemple en un cos no perfecteModifica

Les definicions i els resultats que hem vist poden dependre del cos K de referència. A continuació veurem un exemple "patològic" que permet observar certes subtileses.

Sigui F2 el cos de dos elements, i sigui K = F2(Y), el cos de les fraccions algebraiques sobre F2. Definim la matriu

 

El polinomi característic d'aquesta matriu és χA(Z) = Z2 - Y, que no té arrels dins K, perquè Y no és quadrat dins K, donat que la seva valoració és senar. Això ens diu que la matiru A no té cap valor propi dins K. Aleshores A és semisimple dins K.

Considerem ara l'extensió quadràtica L = K[X]/(Y - X2), el cos de descomposició de χA.

Sobre L, χA(Z) = Z2 - X2 = (Z - X)2 ja no és irreductible, i A té com a valor propi doble X. Si A fos diagonalitzable, seria semblant a la matriu diagonal XI, i per tant igual a aquesta matriu. Però hom pot veure que A no és una matriu diagonal. Per tant, no és diagonalitzable, i en conseqüència no és semisimple dins L.

ReferènciesModifica

  1. 1,0 1,1 Lam, Tsit-Yuen. A first course in noncommutative rings (en anglès). 2. ed.. New York, NY [u.a.]: Springer, 2001, p. 39. ISBN 0-387-95183-0. 

BibliografiaModifica

  • Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray. Semi-Simple operators (en anglès). Pearson Education, 2003, p. 262-265. ISBN 81-297-0213-4. 
  • Bertin, Jean-Marie Arnaudiès, José. Groupes, algèbres et géométrie. (en francès). París: Ellipses, 1993. ISBN 978-2729843083.