Pinta de Dirac

En matemàtiques, la pinta de Dirac (també anomenada tren d'impulsos o funció de mostratge en electrotècnia) és una distribució temperada periòdica[1] construïda a partir de deltes de Dirac[2]

La pinta de Dirac és una sèrie infinita de deltes de Dirac separades per un interval T.

per un període donat T. El símbol representa la pinta de Dirac de període unitat.[1] Alguns autors, en particular Bracewell, així com autors de llibres d'enginyeria elèctrica i teoria de circuits també s'hi refereixen com a funció Shah[2] (possiblement per la seva grafia, molt similar a la lletra ciríl·lica xa majúscula Ш). Pel fet de ser periòdica es pot expressar com a sèrie de Fourier:

Canvi d'escalaModifica

La propietat del canvi d'escala s'obté directament de les propietats de la delta de Dirac.[3] Amb   per a qualsevol nombre   diferent de zero, s'obté:

 
 

Cal notar que el signe de   no altera el resultat.

Sèrie de FourierModifica

És evident que   és periòdica amb període  . Això significa que

 

per a tot t.

Sèrie de Fourier complexaModifica

La seva sèrie de Fourier complexa és

 

on els coeficients de Fourier   són

 

Tot els coeficients de Fourier són 1/T, per tant la sèrie de Fourier resultant és

 

Quan el període és unitari se simplifica de la forma

 

Sèrie de Fourier trigonomètricaModifica

La seva sèrie de Fourier trigonomètrica és

 

on els coeficients de Fourier   i   obtinguts directament a partir dels coeficients   són

 

Per tant la sèrie de Fourier resultant és

 

Quan el període és unitari se simplifica de la forma

 

Transformada de FourierModifica

La transformada de Fourier d'una pinta de Dirac és una pinta de Dirac[2] (propietat que comparteix amb la funció gaussiana de variància 1). Així doncs, la pinta de Dirac expressada en el domini freqüencial es pot escriure com:

 

A més, quan el període és unitari la transformada de Fourier de la pinta de Dirac és directament ella mateixa

 

Vegeu tambéModifica

ReferènciesModifica

  1. 1,0 1,1 Xavier Gràcia Matemàtiques de la Telecomunicació. Definicions i resultats.
  2. 2,0 2,1 2,2 R.J. Beerends; H.G. ter Morsche; J.C. van den Berg; E.M. van de Vrie. Fourier and Laplace transforms. Cambridge University Press, 2003. ISBN 978-0-521-53441-3. 
  3. Nicholas Wheeler Simplified production of Dirac delta functions identities.