En matemàtiques, un polinomi de Neumann, introduït per Carl Neumann per al cas especial
, és un polinomi en 1/z s'utilitza per desenvolupar funcions en termes de funcions de Bessel.[1]
Els primers polinomis són
![{\displaystyle O_{0}^{(\alpha )}(t)={\frac {1}{t}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/516fd507781641157f28aff57564bcad10f5df32)
![{\displaystyle O_{1}^{(\alpha )}(t)=2{\frac {\alpha +1}{t^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebae0012770cb495126196398223ab55d7407983)
![{\displaystyle O_{2}^{(\alpha )}(t)={\frac {2+\alpha }{t}}+4{\frac {(2+\alpha )(1+\alpha )}{t^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31153c893ee1f6a8d49071ed8037bc8969787da7)
![{\displaystyle O_{3}^{(\alpha )}(t)=2{\frac {(1+\alpha )(3+\alpha )}{t^{2}}}+8{\frac {(1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )}{t^{4}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd00182b9aebdcb97681f84a9af06bac349cdfc2)
![{\displaystyle O_{4}^{(\alpha )}(t)={\frac {(1+\alpha )(4+\alpha )}{2t}}+4{\frac {(1+\alpha )(2+\alpha )(4+\alpha )}{t^{3}}}+16{\frac {(1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )(4+\alpha )}{t^{5}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/306ca93b8078719bcc46225cc5c5e568b1e66a9e)
Una forma general del polinomi és
![{\displaystyle O_{n}^{(\alpha )}(t)={\frac {\alpha +n}{2\alpha }}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{n-k}{\frac {(n-k)!}{k!}}{-\alpha \choose n-k}\left({\frac {2}{t}}\right)^{n+1-2k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db5811873893a3d684471cd0496b2a07b23e32f4)
i tenen la funció generatriu
![{\displaystyle {\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {1}{t-z}}=\sum _{n=0}O_{n}^{(\alpha )}(t)J_{\alpha +n}(z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b945a5cd14fc1cf51f697561c0885fd11b61103f)
on J són funcions de Bessel.
Per a desenvolupar una funció f en la forma
![{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}a_{n}J_{\alpha +n}(z)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d621ef164172bdfaf08c835fe40e9190ed338bfc)
per a
, fem
![{\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|z|=c'}{\frac {\Gamma (\alpha +1)}{\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }}}f(z)O_{n}^{(\alpha )}(z)\,dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8f25153c014311f6324142effc527ef896189e0)
on
i c és la distància de la singularitat més propera de
de
.
Un exemple és el desenvolupament
-
o més general, la fórmula Sonine[2]
-
on és el polinomi de Gegenbauer. Llavors,
-
-
la funció hipergeomètrica confluent
-
i en particular
-
la fórmula de canvi d'índex
-
el desenvolupament de Taylor (fórmula d'addició)
-
(cf.[3]) i el desenvolupament de la integral de la funció de Bessel,
-
són del mateix tipus.
- ↑ Abramowitz and Stegun, p. 363, 9.1.82 ff.
- ↑ Erdélyi et al. 1955 II.7.10.1, p.64
- ↑ Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich; Geronimus, Yuri Veniaminovich; Tseytlin, Michail Yulyevich; Jeffrey, Alan. «8.515.1.». A: Table of Integrals, Series, and Products (en anglès). 8. Academic Press, Inc., 2015, p. 944. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276.