Polinomi quadràtic

En matemàtiques els polinomis quadràtics (o simplement polinomis de segon grau ) són aquells polinomis de grau dos. Alguns exemples són:

• $ax^{2}+bx+c$, a on $a,b,c$ són reals. Aquesta és coneguda com a funció quadràtica d'una variable.
• $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F$ a on A , B , C , D , E i F són nombres reals.

funció polinòmica quadràtica que passa a tenir dues variables x i i

Aplicació en l'estudi de màxims i mínims

Els polinomis quadràtics són de molta utilitat en l'estudi local de funcions: S'empren com aproximacions de les funcions derivables i donen informació local de com és la funció. Per exemple, en l'estudi dels extrems d'una funció.

Exemple

Donada una funció $f:(a-\varepsilon ,a+\varepsilon )\rightarrow \mathbb {R}$ derivable dues vegades en tot l'interval $(a-\varepsilon ,a+\varepsilon )$, el seu desenvolupament de Taylor en el punt $a$ és

$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\dfrac {f''(\xi )}{2!}}(x-a)^{2}$

amb $\xi \in (a,x)$. Si la funció $f$ té un extrem en el punt $a$ llavors es satisfà que $f'(a)=0$. Ens queda doncs que la funció $f$ és igual a

$f(x)=f(a)+{\dfrac {f''(\xi )}{2!}}(x-a)^{2}$.

Depenent del valor de la segona derivada tindrem, doncs, un màxim ($f''(\xi )<0$) o un mínim ($f''(\xi )>0$).

Vegeu també

• Equació quadràtica
• Funció quadràtica