En matemàtiques , els polinomis continus de Hahn són una família de polinomis ortogonals en l'esquema d'Askey per als polinomis ortogonals hipergeomètrics. Es defineixen en termes de funcions hipergeomètriques generalitzades per
p
n
(
x
;
a
,
b
,
c
,
d
)
=
i
n
(
a
+
c
)
n
(
a
+
d
)
n
n
!
3
F
2
(
−
n
,
n
+
a
+
b
+
c
+
d
−
1
,
a
+
i
x
a
+
c
,
a
+
d
;
1
)
{\displaystyle p_{n}(x;a,b,c,d)=i^{n}{\frac {(a+c)_{n}(a+d)_{n}}{n!}}{}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}-n,n+a+b+c+d-1,a+ix\\a+c,a+d\end{array}};1\right)}
Koekoek, Lesky i Swarttouw (2010) ofereix una llista detallada de les seves propietats.
Els polinomis estretament relacionats inclouen els polinomis duals de Hahn R n (x ;γ,δ,N ), els polinomis de Hahn Q n (x ;a ,b ,c ), i els polinomis duals continus de Hahn S n (x ;a ,b ,c ). Tots aquests polinomis tenen q-anàlegs amb un paràmetre q addicional, com els polinomis q-Hahn Q n (x ;α,β, N ;q ), etc.
Els polinomis continus de Hahn p n (x ;a ,b ,c ,d ) són ortogonals respecte a la funció pes
w
(
x
)
=
Γ
(
a
+
i
x
)
Γ
(
b
+
i
x
)
Γ
(
c
−
i
x
)
Γ
(
d
−
i
x
)
.
{\displaystyle w(x)=\Gamma (a+ix)\,\Gamma (b+ix)\,\Gamma (c-ix)\,\Gamma (d-ix).}
En particular, satisfan la relació d'ortogonalitat [4]
1
2
π
∫
−
∞
∞
Γ
(
a
+
i
x
)
Γ
(
b
+
i
x
)
Γ
(
c
−
i
x
)
Γ
(
d
−
i
x
)
p
m
(
x
;
a
,
b
,
c
,
d
)
p
n
(
x
;
a
,
b
,
c
,
d
)
d
x
=
Γ
(
n
+
a
+
c
)
Γ
(
n
+
a
+
d
)
Γ
(
n
+
b
+
c
)
Γ
(
n
+
b
+
d
)
n
!
(
2
n
+
a
+
b
+
c
+
d
−
1
)
Γ
(
n
+
a
+
b
+
c
+
d
−
1
)
δ
n
m
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\Gamma (a+ix)\,\Gamma (b+ix)\,\Gamma (c-ix)\,\Gamma (d-ix)\,p_{m}(x;a,b,c,d)\,p_{n}(x;a,b,c,d)\,dx\\&\qquad \qquad ={\frac {\Gamma (n+a+c)\,\Gamma (n+a+d)\,\Gamma (n+b+c)\,\Gamma (n+b+d)}{n!(2n+a+b+c+d-1)\,\Gamma (n+a+b+c+d-1)}}\,\delta _{nm}\end{aligned}}}
per a
ℜ
(
a
)
>
0
{\displaystyle \Re (a)>0}
,
ℜ
(
b
)
>
0
{\displaystyle \Re (b)>0}
,
ℜ
(
c
)
>
0
{\displaystyle \Re (c)>0}
,
ℜ
(
d
)
>
0
{\displaystyle \Re (d)>0}
,
c
=
a
¯
{\displaystyle c={\overline {a}}}
,
d
=
b
¯
{\displaystyle d={\overline {b}}}
.
Relacions de recurrència
modifica
La seqüència de polinomis continus de Hahn satisfan la relació de recurrència
x
p
n
(
x
)
=
p
n
+
1
(
x
)
+
i
(
A
n
+
C
n
)
p
n
(
x
)
−
A
n
−
1
C
n
p
n
−
1
(
x
)
,
{\displaystyle xp_{n}(x)=p_{n+1}(x)+i(A_{n}+C_{n})p_{n}(x)-A_{n-1}C_{n}p_{n-1}(x),}
on
p
n
(
x
)
=
n
!
(
n
+
a
+
b
+
c
+
d
−
1
)
!
(
2
n
+
a
+
b
+
c
+
d
−
1
)
!
p
n
(
x
;
a
,
b
,
c
,
d
)
,
A
n
=
−
(
n
+
a
+
b
+
c
+
d
−
1
)
(
n
+
a
+
c
)
(
n
+
a
+
d
)
(
2
n
+
a
+
b
+
c
+
d
−
1
)
(
2
n
+
a
+
b
+
c
+
d
)
,
i
C
n
=
n
(
n
+
b
+
c
−
1
)
(
n
+
b
+
d
−
1
)
(
2
n
+
a
+
b
+
c
+
d
−
2
)
(
2
n
+
a
+
b
+
c
+
d
−
1
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{on}}\quad &p_{n}(x)={\frac {n!(n+a+b+c+d-1)!}{(2n+a+b+c+d-1)!}}p_{n}(x;a,b,c,d),\\&A_{n}=-{\frac {(n+a+b+c+d-1)(n+a+c)(n+a+d)}{(2n+a+b+c+d-1)(2n+a+b+c+d)}},\\{\text{i}}\quad &C_{n}={\frac {n(n+b+c-1)(n+b+d-1)}{(2n+a+b+c+d-2)(2n+a+b+c+d-1)}}.\end{aligned}}}
Fórmula de Rodrigues
modifica
Els polinomis continus de Hahn continus es poden expressar de forma semblant a la fórmula de Rodrigues
Γ
(
a
+
i
x
)
Γ
(
b
+
i
x
)
Γ
(
c
−
i
x
)
Γ
(
d
−
i
x
)
p
n
(
x
;
a
,
b
,
c
,
d
)
=
(
−
1
)
n
n
!
d
n
d
x
n
(
Γ
(
a
+
n
2
+
i
x
)
Γ
(
b
+
n
2
+
i
x
)
Γ
(
c
+
n
2
−
i
x
)
Γ
(
d
+
n
2
−
i
x
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma (a+ix)\,\Gamma (b+ix)\,\Gamma (c-ix)\,\Gamma (d-ix)\,p_{n}(x;a,b,c,d)\\&\qquad ={\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(\Gamma \left(a+{\frac {n}{2}}+ix\right)\,\Gamma \left(b+{\frac {n}{2}}+ix\right)\,\Gamma \left(c+{\frac {n}{2}}-ix\right)\,\Gamma \left(d+{\frac {n}{2}}-ix\right)\right).\end{aligned}}}
Funció generatriu
modifica
Els polinomis continus de Hahn tenen la següent funció generatriu :
∑
n
=
0
∞
Γ
(
n
+
a
+
b
+
c
+
d
)
Γ
(
a
+
c
+
1
)
Γ
(
a
+
d
+
1
)
Γ
(
a
+
b
+
c
+
d
)
Γ
(
n
+
a
+
c
+
1
)
Γ
(
n
+
a
+
d
+
1
)
(
−
i
t
)
n
p
n
(
x
;
a
,
b
,
c
,
d
)
=
(
1
−
t
)
1
−
a
−
b
−
c
−
d
3
F
2
(
1
2
(
a
+
b
+
c
+
d
−
1
)
,
1
2
(
a
+
b
+
c
+
d
)
,
a
+
i
x
a
+
c
,
a
+
d
;
−
4
t
(
1
−
t
)
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+a+b+c+d)\,\Gamma (a+c+1)\,\Gamma (a+d+1)}{\Gamma (a+b+c+d)\,\Gamma (n+a+c+1)\,\Gamma (n+a+d+1)}}(-it)^{n}p_{n}(x;a,b,c,d)\\&\qquad =(1-t)^{1-a-b-c-d}{}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}{\frac {1}{2}}(a+b+c+d-1),{\frac {1}{2}}(a+b+c+d),a+ix\\a+c,a+d\end{array}};-{\frac {4t}{(1-t)^{2}}}\right).\end{aligned}}}
Una segona funció generatriu diferent ve donada per
∑
n
=
0
∞
Γ
(
a
+
c
+
1
)
Γ
(
b
+
d
+
1
)
Γ
(
n
+
a
+
c
+
1
)
Γ
(
n
+
b
+
d
+
1
)
t
n
p
n
(
x
;
a
,
b
,
c
,
d
)
=
1
F
1
(
a
+
i
x
a
+
c
;
−
i
t
)
1
F
1
(
d
−
i
x
b
+
d
;
i
t
)
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a+c+1)\,\Gamma (b+d+1)}{\Gamma (n+a+c+1)\,\Gamma (n+b+d+1)}}t^{n}p_{n}(x;a,b,c,d)=\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}a+ix\\a+c\end{array}};-it\right)\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}d-ix\\b+d\end{array}};it\right).}
Relació amb altres polinomis
modifica
Els polinomis de Wilson són una generalització dels polinomis continus de Hahn.
El polinomis de Bateman F n (x) estan relacionats amb el cas especial a =b =c =d =1/2 dels polinomis continus de Hahn per
p
n
(
x
;
1
2
,
1
2
,
1
2
,
1
2
)
=
i
n
n
!
F
n
(
2
i
x
)
.
{\displaystyle p_{n}\left(x;{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)=i^{n}n!F_{n}\left(2ix\right).}
Els polinomis de Jacobi P n (α,β) (x) es poden obtenir com un cas limitant dels polinomis continus de Hahn:
P
n
(
α
,
β
)
=
lim
t
→
∞
t
−
n
p
n
(
1
2
x
t
;
1
2
(
α
+
1
−
i
t
)
,
1
2
(
β
+
1
+
i
t
)
,
1
2
(
α
+
1
+
i
t
)
,
1
2
(
β
+
1
−
i
t
)
)
.
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}=\lim _{t\to \infty }t^{-n}p_{n}\left({\tfrac {1}{2}}xt;{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1-it),{\tfrac {1}{2}}(\beta +1+it),{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1+it),{\tfrac {1}{2}}(\beta +1-it)\right).}
Andrews , George E.; Askey , Richard ; Roy , Ranjan. Special functions . Cambridge: Cambridge University Press, 1999 (Encyclopedia of Mathematics and its Applications). ISBN 978-0-521-62321-6 .
Askey , R. «Continuous Hahn polynomials». J. Phys. A: Math. Gen. , 18, 1985.
Hahn , Wolfgang «Über Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genügen» (en alemany). Mathematische Nachrichten , 2, 1949, pàg. 4-34. DOI : 10.1002/mana.19490020103 . ISSN : 0025-584X .
Koekoek , Roelof; Lesky , Peter A.; Swarttouw , René F. Hypergeometric orthogonal polynomials and their q-analogues . Berlin, New York: Springer-Verlag, 2010 (Springer Monographs in Mathematics). DOI 10.1007/978-3-642-05014-5 . ISBN 978-3-642-05013-8 .
Koornwinder , Tom H.; Wong , Roderick S. C.; Koekoek , Roelof; Swarttouw , René F. Hahn Class: Definitions . Cambridge University Press , 2010 (NIST Handbook of Mathematical Functions). ISBN 978-0521192255 .