Potencial de velocitats

Un potencial de velocitat és un potencial escalar utilitzat en teoria de flux potencial. Va ser introduït per Joseph Louis Lagrange l'any 1788.^[1]

És usat en mecànica dels medis continus, quan un medi continu ocupa una regió simplement connexa i és irrotacional. En tal cas:

\nabla \times \mathbf {u} =0\,

On $u$ denota la velocitat de flux. Com a resultat, u pot ser representat com el gradient d'una funció escalar $Φ$ :

\mathbf {u} =\nabla \Phi \ ={\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\mathbf {k} \,.

$Φ$ es coneix com el potencial de velocitats de $u$ . L'equació de continuïtat $\nabla \cdot \mathbf {u} =0\,$ queda reduïda a l'equació de Laplace de $Φ$ :^[2]

\nabla ^{2}\Phi ={\cfrac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}=0\,

Un potencial de velocitats no és únic. Si Φ és un potencial de velocitats, llavors $Φ + a (t)$ $Φ + a (t)$ (t) és també un potencial de velocitats de u, on $Φ + a (t)$ és una funció escalar de temps que pot ser constant. En altres paraules, els potencials de velocitat són únics fins a una constant, o una funció només dependent del temps.

Si un potencial de velocitats satisfà l'equació de Laplace, es pot comprovar aquesta afirmació, per exemple, desenvolupant l'expressió $\nabla \times (\nabla \times u)$ i usant, gràcies al teorema de Clairaut-Schwarz, la commutació entre els operadors gradient i laplacià.

A diferència de la funció de corrent, un potencial de velocitats pot existir en un flux tridimensional.

Ús en acústica

En teoria acústica, sovint es vol treballar amb l'equació d'ona acústica del potencial de velocitats $Φ$ en comptes de la pressió p i/o de la velocitat de la partícula u.^[3]

\nabla ^{2}\Phi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}=0

Solucionant l'equació d'ona per qualsevol camp p o camp u no necessàriament proporciona una resposta senzilla per l'altre camp. D'altra banda, quan $Φ$ és solucionat $p$ er, no només és u trobat mentre donat damunt, però p és també fàcilment trobat – del (linearised) equació de Bernolli per fluxos irrotacionals i noestacionaris – com:

p=-\rho {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\,.

Referències

↑ Anderson, John. A History of Aerodynamics. Cambridge University Press, 1998. ISBN 978-0521669559.
↑ White, Frank M. «8: Potencial Flow and Computational Fluid Dynamics». A: Elizabeth A. Jones. Fluid Mechanics [Mecànica de Fluids] (en anglès). 5a. Nova York: McGraw Hill, 2003, p. 524 (McGraw Hill Series in Mechanical Engineering). ISBN 0-07-240217-2 [Consulta: 19 gener 2020].
↑ Pierce, Allan D. Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications (en anglès). Woodbury, N.Y.: Acoustical Society of America, 1994, p. 18. ISBN 978-0883186121.

Vegeu també

Vorticitat

Enllaços externs

Aplicatiu Interactiu de la Transformada de Joukowski Arxivat 2020-03-25 a Wayback Machine.

[1] Anderson, John. A History of Aerodynamics. Cambridge University Press, 1998. ISBN 978-0521669559.

[2] White, Frank M. «8: Potencial Flow and Computational Fluid Dynamics». A: Elizabeth A. Jones. Fluid Mechanics [Mecànica de Fluids] (en anglès). 5a. Nova York: McGraw Hill, 2003, p. 524 (McGraw Hill Series in Mechanical Engineering). ISBN 0-07-240217-2 [Consulta: 19 gener 2020].

[3] Pierce, Allan D. Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications (en anglès). Woodbury, N.Y.: Acoustical Society of America, 1994, p. 18. ISBN 978-0883186121.

[1]

[2]

[3]