Pullback

En matemàtiques, el concepte de pullback té diferents significats segons sigui el context. Els principals són:

• Entre conjunts: Donats dos mapatges $f\colon X\to Y$ i $g\colon Y\to Z$ la composició $g\cdot f\colon X\to Z$ pot considerar-se com el pullback de $g$ sota $f$, i s'escriu simbòlicament $f^{*}(g)=g\cdot f$

• En l'àlgebra multilineal, donada una transformació lineal $L\colon V\to W$ entre dos espais vectorials $V$ i $W$, i un funcional lineal $f\colon W\to \mathbb {R}$ llavors $L\cdot f\colon V\to \mathbb {R}$ és un nou funcional lineal; d'aquesta manera es construeix el pullback $L^{*}(f)=L\cdot f$ de $f\,$. Aquesta idea es generalitza per a una aplicació k-multilineal $f\colon W\otimes \cdots \otimes W\to \mathbb {R}$ i $L\colon V\to W$ lineal, llavors es pot fer el pullback $L^{*}(f)\colon V\otimes \cdots \otimes V\to \mathbb {R}$ mitjançant l'artifici

$L^{*}(f)(v_{1}...,v_{k})=f(Lv_{1}...,Lv_{k})\,$

Pullback del feix fibrós $F\subset E\to B$

• En els fibrosos: donat un fibrós $F\subset E\to B$ amb projecció $\pi$ i un mapatge continu $f\colon X\to B$ es pot construir un nou fibrós (anomenat el pullback d'E) $F\subset f^{*}E\to X$ mitjançant

$f^{*}E=\{(x,e)\in X\times E\colon f(x)=\pi (e)\}$

Bibliografia

• Jürgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 See sections 1.5 and 1.6.
• Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.7 and 2.3.