Àlgebra multilineal

A la matemàtica, l'àlgebra multilineal és una àrea d'estudi que generalitza els mètodes de l'àlgebra lineal. Els objectes d'estudi són els productes tensorials d'espais vectorials i les transformacions multi-lineals entre els espais.

NotacióModifica

L'àlgebra multilineal fa un ús intensiu de la notació multi-índex. Una notació d'aquest tipus fa representar les combinacions lineals per un conjunt de dos o més índexs repetits.

  • En el cas elemental (tensors de rang 1 contravariant) tenim, utilitzant la convenció de la suma d'Einstein:  . La qual cosa indica que l'objecte X, és la combinació lineal:

 

sobre els vectors bàsics  , i els   anomenats els components d'X Aquí   és la dimensió (algebraica) d'espai on "viu" X. Per convenció es diu a aquests 1-contra-tensor és.
  • En rang 1 també hi ha els 1-co tensor, és a dir mapeigs lineals des de l'espai triat cap al cos dels escalars. Ells s'escriuen com a combinació lineal dels funcionals lineals  , transformacions lineals   que satisfan:  , on (com clàssicament) es està utilitzant el delta de Kronecker. Així qualsevol covectors   s'escriu com  , notació que s'abreuja  .
  • Tensors de rang dos:
    • Un tensor de rang dos contravariant és  .
    • Un tensor de rang dos covariant és  .
    • I un tensor de rang dos mixt és  . Això INID una combinació lineal bi-indexada.
Per exemple,

 

si la dimensió de l'espai és dos.
  • Generalitzant l'anterior s'escriu   per representar els components d'un tensor mixt A, que és p-contravariant i q-covariant. Però

 

representa una combinació lineal multi-indexada.

Tot això només ha estat considerant que l'espai vectorial és de dinensió finita igual a n.

Producte tensorialModifica

Si tenim dos espais vectorials V, W, amb respectives bases  ,   es defineix el seu producte tensorial

 

és a dir l'espai vectorial generat pels nous símbols

 

I per tant si un objecte que viu en (part de)   llavors ell es pot representar com una combinació lineal

 

i la qual es va a abreujar com

  els índexs repetits s o t, un cop dalt i un cop baix –segons el conveni de sumació–, un a un.

Aquesta definició és absolutament abstracta, però des del punt de vista algebraic no hi ha cap problema en explorar totes les possibilitats del producte tensorial. Un munt d'espais sorgeix (i d'importància capital) simplement en considerar un espai vectorial V i el seu dual   un obté els espais:

 
 
 
 
 

Tots ells d'ús quotidià en la geometria diferencial, geometria algebraica, àlgebra commutativa, relativitat i quàntica, teories de camp, QFT, TQFT i altres.

Tensors i formesModifica

Sigui   generat pels  . Simbolitzem amb   la base dual  . Qualsevol element de   s'escriu de la forma  . Aquesta mateixa expressió pot ser vista com un mapa bilineal

 

sabent que  , on   és la delta de Kronecker.

Un altre de rang dos és  . Els elements d'aquí es veuen com combinacions lineals bi-indexades  .

Alguns conceptes desenvolupats (llista incompleta)Modifica

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Àlgebra multilineal