Regla del quocient

A càlcul, la regla del quocient és un mètode per a calcular la derivada d'una funció que consisteix en el quocient d'altres dues per a les quals la derivada existeix.

Si la funció que es vol derivar, , es pot escriure com

i , llavors la regla diu que la derivada de és igual a:

O de forma més precisa, per a tot que pertany a algun conjunt obert que conté el nombre , amb ; i, tal que i existeixen totes dues; llavors, també existeix:

ExemplesModifica

La derivada de   és

   
 
 

A l'exemple de dalt, s'ha triat:

 
 

De forma anàloga, la derivada de   (quan   ≠ 0) és:

 

Per a més informació referent a les derivades de les funcions trigonomètriques vegeu: derivada.

Un altre exemple és:

 

on   i  , i   i  .

La derivada de   es determina tal com segueix:

   
 
 
 

DemostracionsModifica

A partir de la definició de derivadaModifica

Suposant que  
on  ≠ 0 i   i   són derivables.
 
 
 
 
 
 
 

A partir de la regla del producteModifica

Suposant que  
 
 

La resta consisteix en aplicar les regles de l'àlgebra per a fer que   sigui l'únic terme del cantó esquerre de l'equació i per a eliminar   del cantó dret de l'equació.

 
 

De forma alternativa, es pot aplicar la regla del producte directament, sense haver de fer ús de la substitució:

 

I tot seguit aplicar la regla de la cadena per a derivar  :

 

A partir de la regla de la cadenaModifica

Es considera la identitat

 

Llavors

 

Porta a

 

Operant s'obté

 

Per acabar, es treu comú denominador i en queda el resultat esperat

 

Emprant diferencials totalsModifica

Una demostració fins i tot més elegant és conseqüència de la llei referent als diferencials totals, que diu que el diferencial total,

 

De qualsevol funció a qualsevol conjunt de quantitats es pot descompondre de la següent forma, sense importat quines variables independents hi hagi a la funció (és a dir no importa quines variables es prenguin, ja que no poden expressar-se com a funcions d'altres variables). Això vol dir que, si N i D són totes dues funcions d'una variable independent x, i  , llavors han de ser veritat simultàniament que

(*)  

I que

 .

Però sabent que   i  .

Substituint i fent aquests dos diferencials totals iguals a un tercer (donat que representen límits que es poden manipular), s'obté l'equació

 

La qual requereix que

(#)  .

Calculant les parcials de la dreta:

 ;
 .

Si se substitueixen dins de (#),

 
 

La qual dona la regla del quocient, donat que, per a (*),

 .

Aquesta demostració és forma més sistemàtica de demostrar el teorema en termes de límits, i per tant, és equivalent a la primera demostració – i fins i tot es redueix a ella si es fan les substitucions adequades als llocs adequats.

Vegeu tambéModifica