Residu quadràtic

El residu quadràtic mòdul en matemàtica i dins la teoria de nombres és qualsevol enter coprimer amb per al que tingui solució la congruència:

o, cosa que és el mateix, quan és un quadrat no nul mòdul ,[1] i que per tant té una arrel quadrada en l'aritmètica de mòdul . Als enters que no són congruents amb quadrats perfectes mòdul se'ls anomena no-residus quadràtics. En endavant els anomenaren com residus i no-residus.

Per exemple, quan el mòdul és 13, els residus són: 1, 3, 4, 9, 10 i 12, i els no residus 2, 5, 6, 7, 8, i 11. En general per a determinar quins són els residus quadràtics per a un mòdul donat, n'hi ha prou amb determinar les restes de de dividir per als quadrats perfectes dels enters nombres primers amb i menor o iguals a .

En el cas que es limiti l'estudi només als nombres primers és convenient usar el símbol de Legendre, i la seva extensió, el símbol de Jacobi.

PropietatsModifica

  • El producte d'un residu i un no-residu és un no-residu
  • Si   és un nombre primer, la meitat de les   classes residuals mòdul   són residus i l'altra meitat no-residus.
  • -1 és un residu de tots els nombres primers de la successió   i és un no-residu de tots els primers de la successió  
  • 2 és un residu de tots els primers de les successions   i   i és un no-residu de tots els altres primers imparells.
  • Si   i   són primers imparells i cap d'ells pertany a la successió   aleshores   és un residu mòdul   si i només si   és un no-residu mòdul  . Si per altra banda qualsevol dels dos,o ambdós, pertanyen a la successió   aleshores   és un residu mòdul   si i només si   és un residu mòdul  .

Aquesta darrera propietat rep el nom de Llei de reciprocitat quadràtica, i és un dels teoremes més importants de la teoria elemental de nombres.

Problemes oberts i conjecturesModifica

Un dels problemes més importants sobre residus quadràtics és l'ordre de magnitud del mínim no-residu quadràtic positiu  . El millor resultat conegut el va donar Burguess, assegura que l'expressió

 

està acotada per a tots els nombres primers, i es conjectura que el resultat podria seguir sent cert si es substitueix el denominador per  .

ExtensionsModifica

De la mateixa manera es pot parlar de residus cúbics, residus biquadràtics i en general de residus potencials.

ReferènciesModifica

  1. Gentile: Aritmética elemental, OEA ()1985

Enllaços externsModifica