Sèrie de Bell

En matemàtiques, una sèrie de Bell és una sèrie de potències formal utilitzada per estudiar les propietats de funcions aritmètiques. Les sèries de Bell van ser introduïdes i desenvolupades per Eric Temple Bell.

Donada una funció aritmètica $f$ i un nombre primer $p$, es defineix la sèrie de potències formal $f_{p}(x)$, anomenada sèrie de Bell de $f$ mòdul $p$, com a:

$F_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}$

Es pot demostrar que dues funcions multiplicatives són idèntiques si totes les seves sèries de Bell són iguals: això de vegades s'anomena teorema d'unicitat. Donades les funcions multiplicatives $f$ i $g$, es té que $f=g$ si i només si:

$F_{p}(x)=g_{p}(x)$ per a tots els nombres primers $p$.

Dues sèries poden ser multiplicades (de vegades anomenat com teorema de multiplicació): per a dos funcions aritmètiques qualssevol $f$ i $g$, sigui $h=f*g$ la seva convolució de Dirichlet. Llavors, per a cada nombre primer $p$, es té que:

$H_{p}(x)=f_{p}(x)g_{p}(x).\,$

Més concretament, això converteix en trivial el fet de trobar la sèrie de Bell d'una inversa de Dirichlet.

Si $f$ és completament multiplicativa, llavors:

$F_{p}(x)={\frac {1}{1-f(p)x}}.$

Exemples

A continuació es mostren les sèries de Bell de funcions aritmètiques molt conegudes.

• La funció de Moebius $\mu$ té $\mu _{p}(x)=1-x.$
• La funció φ d'Euler $\varphi$ té $\varphi _{p}(x)={\frac {1-x}{1-px}}.$
• La identitat multiplicadora de la convolució de Dirichlet $\delta \,$ tiene $\delta _{p}(x)=1.\,$
• La funció de Liouville $\lambda$ té $\lambda _{p}(x)={\frac {1}{1+x}}.$
• La funció potència Id_k té $({\textrm {Id}}_{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-p^{k}x}}.$ Aquí, Id_k és la funció completament multiplicativa $\operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}$.
• La funció divisor $\sigma _{k}$ té $(\sigma _{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-(1+p^{k})x+p^{k}x^{2}}}.$

Bibliografia

• Apostol, Tom M. Introduction to analytic number theory (en anglès). Nova York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976. MR 0434929. ISBN 978-0-387-90163-3.