Sèrie de Bell

funció generatriu

En matemàtiques, una sèrie de Bell és una sèrie de potències formal utilitzada per estudiar les propietats de funcions aritmètiques. Les sèries de Bell van ser introduïdes i desenvolupades per Eric Temple Bell.

Donada una funció aritmètica i un nombre primer , es defineix la sèrie de potències formal , anomenada sèrie de Bell de mòdul , com a:

Es pot demostrar que dues funcions multiplicatives són idèntiques si totes les seves sèries de Bell són iguals: això de vegades s'anomena teorema d'unicitat. Donades les funcions multiplicatives i , es té que si i només si:

per a tots els nombres primers .

Dues sèries poden ser multiplicades (de vegades anomenat com teorema de multiplicació): per a dos funcions aritmètiques qualssevol i , sigui la seva convolució de Dirichlet. Llavors, per a cada nombre primer , es té que:

Més concretament, això converteix en trivial el fet de trobar la sèrie de Bell d'una inversa de Dirichlet.

Si és completament multiplicativa, llavors:

ExemplesModifica

A continuació es mostren les sèries de Bell de funcions aritmètiques molt conegudes.

  • La funció de Moebius   
  • La funció φ d'Euler   
  • La identitat multiplicadora de la convolució de Dirichlet   tiene  
  • La funció de Liouville   
  • La funció potència Idk  Aquí, Idk és la funció completament multiplicativa  .
  • La funció divisor   

BibliografiaModifica