Suprem i ínfim (elements)

En matemàtiques, donat un subconjunt $S$ d'un conjunt parcialment ordenat $(P,<)$, el suprem de $S$, si existeix, és l'element mínim de $P$ que és major o igual a cada element de $S$. En altres paraules, és la mínima de les fites superiors de $S$. El suprem d'un conjunt $S$ comunament es denota $\sup(S)$. L'ínfim de $S$ si existeix, és l'element màxim de $P$ que és menor o igual que cada element de $S$. Per tant, el mínim és la major de les fites inferiors de $S$. L'ínfim es denota habitualment per $\inf(S)$.

Un conjunt A de nombres reals (representats per cercles blaus), un conjunt de cotes superiors de A (cercles vermells), i el mínim de les fites superiors, el suprem de A (diamant vermell).

Propietats

• Si el suprem o l'ínfim existeixen, llavors són únics.
• Un conjunt té màxim, si i només si conté al seu suprem. Un conjunt té mínim si i només si conté el seu ínfim.
• $\sup(A\cup B)=\max\{\sup(A),\sup(B)\}$, si és que aquests suprems existeixen.
• $\inf(A\cup B)=\min\{\inf(A),\inf(B)\}$, si ambdós ínfims existeixen.
• $\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)$, on $A+B:=\{a+b\;|\;a\in A,b\in B\}$ denota la suma de Minkowski.
• D'igual manera, $\inf(A+B)=\inf(A)+\inf(B)$.

Exemples

• En el camp dels nombres reals, tot subconjunt no buit, fitat superiorment té suprem (el que es coneix com a axioma del suprem).
• $\sup\{1,2,3\}=3\,$.
• $\inf\{1,2,3\}=1\,$.
• $\sup\{x\in \mathbb {R} \,|\,0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} \,|\,0\leq x\leq 1\}=1\,$.
• $\sup\{(-1)^{n}-{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {N} \}=1\,$.
• $\inf \left\{{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {N} \right\}=0\,$.
• $\inf\{x\in \mathbb {Q^{+}} |x^{2}<2\}=0\,$.

Vegeu també

• Roger Paman
• Element major i menor
• Element maximal i minimal

Referències

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Suprem i ínfim

• Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, Third Edition , McGraw-Hill, 1976.
• Supremum Arxivat 2007-09-27 a Wayback Machine. (en PlanetMath.org )
• Weisstein, Eric W., «Supremum function» a MathWorld (en anglès).