Suprem

En matemàtiques, donat un subconjunt S d'un conjunt parcialment ordenat (P, <), el suprem de S, si existeix, és l'element mínim de P que és major o igual a cada element de S. En altres paraules, és la mínima de les cotes superiors de S. El suprem d'un conjunt S comunament es denota sup(S).

Un conjunt A de nombres reals (representats per cercles blaus), un conjunt de cotes superiors de A (cercles vermells), i el mínim de les fites superiors, el suprem de A (diamant vermell).

Propietats

• Si el suprem existeix, llavors és únic.
• $\sup(A\cup B)=\max\{\sup(A),\sup(B)\}$, si és que aquests suprems existeixen.
• Un conjunt té màxim, si i només si conté al seu suprem.

Exemples

• En el camp dels nombres reals, tot subconjunt no buit, fitat superiorment té suprem.
• $\sup\{1,2,3\}=3\,$
• $\sup\{x\in \mathbb {R} |0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} |0\leq x\leq 1\}=1\,$
• $\sup\{(-1)^{n}-{\frac {1}{n}}|n\in \mathbb {N} \}=1\,$

Vegeu també

• Roger Paman

Referències

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Suprem

• Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, Third Edition , McGraw-Hill, 1976.
• Supremum Arxivat 2007-09-27 a Wayback Machine. (en PlanetMath.org )
• Weisstein, Eric W., «Supremum function» a MathWorld (en anglès).