Suprem i ínfim (elements)

(S'ha redirigit des de: Suprem)
Per a altres significats, vegeu «Tribunal Suprem».

En matemàtiques, donat un subconjunt d'un conjunt parcialment ordenat , el suprem de , si existeix, és l'element mínim de que és major o igual a cada element de . En altres paraules, és la mínima de les fites superiors de . El suprem d'un conjunt comunament es denota . L'ínfim de si existeix, és l'element màxim de que és menor o igual que cada element de . Per tant, el mínim és la major de les fites inferiors de . L'ínfim es denota habitualment per .

Un conjunt A de nombres reals (representats per cercles blaus), un conjunt de cotes superiors de A (cercles vermells), i el mínim de les fites superiors, el suprem de A (diamant vermell).

Propietats

modifica
  • Si el suprem o l'ínfim existeixen, llavors són únics.
  • Un conjunt té màxim, si i només si conté al seu suprem. Un conjunt té mínim si i només si conté el seu ínfim.
  •  , si és que aquests suprems existeixen.
  •  , si ambdós ínfims existeixen.
  •  , on   denota la suma de Minkowski.
  • D'igual manera,  .

Exemples

modifica
  • En el camp dels nombres reals, tot subconjunt no buit, fitat superiorment té suprem (el que es coneix com a axioma del suprem).
  •  .
  •  .
  •  .
  •  .
  •  .
  •  .

Vegeu també

modifica

Referències

modifica
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Suprem i ínfim