Tensor d'inèrcia

El tensor d'inèrcia és un tensor simètric d'ordre 2 que caracteritza la inèrcia rotacional d'un sòlid rígid. Expressat en una base de l'espai, pren la forma d'una matriu simètrica, on els elements de la diagonal són el moments d'inèrcia i els elements de fora la diagonal són els productes d'inèrcia.

DefinicióModifica

Suposem que tenim un sòlid rígid, i elegim un punt de l'espai   (que pot o no pertànyer al sòlid) a on calcularem el tensor d'inèrcia. Per referir-nos als punts de l'espai farem servir la base   que té origen de coordenades  . D'aquesta manera, qualsevol punt del sòlid es pot escriure com:

 

Anomenarem   a la regió de l'espai que ocupa el sòlid, i considerarem que   és la densitat de massa del punt  . Amb tot això, les components del tensor d'inèrcia en aquesta base venen donades per la següent expressió:

 

MotivacióModifica

La definició anterior pot semblar complicada i arbitrària, però veurem el paper fonamental que juga en la mecànica del sòlid rígid.

Moment angularModifica

Suposem que un sòlid rígid gira amb velocitat angular  , i volem calcular el seu moment angular respecte al punt  . Llavors, es compleix que:

 

És important notar que en general el moment angular no és paral·lel a la velocitat angular, ja que el tensor d'inèrcia és, en general, una matriu complicada.

Energia cinèticaModifica

Fem les mateixes suposicions que abans, i obtenim que l'energia cinètica del sòlid respecte al punt   és:

 

Vegeu tambéModifica