Teorema de Śleszyński–Pringsheim

En matemàtiques, el teorema de Śleszyński–Pringsheim és una afirmació sobre la convergència d'un cert grup de fraccions contínues. Va ser enunciat per Ivan Śleszyński^[1] i Alfred Pringsheim^[2] a finals del segle xix.^[3]

El teorema afirma que si a_n, b_n, per n = 1, 2, 3, ... són nombres reals i |b_n| ≥ |a_n| + 1 per tot n, llavors

{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+\ddots }}}}}}

convergeix absolutament a un nombre ƒ complint-se que 0 < |ƒ| < 1,^[4] és a dir que la sèrie

f=\sum _{n}\left\{{\frac {A_{n}}{B_{n}}}-{\frac {A_{n-1}}{B_{n-1}}}\right\},

on A_n / B_n són els convergents de la fracció contínua, convergeix absolutament.

Vegeu també

↑ Слешинскій, И. В. «Дополненiе къ замѣткѣ о сходимости непрерывныхъ дробей» (en rus). Матем. сб., 14, 3, 1889, pàg. 436 i 438 [Consulta: 2 gener 2018].
↑ Pringsheim, A. «Ueber die Convergenz unendlicher Kettenbrüche» (en alemany). Münch. Ber., 1898, pàg. 295–324 [Consulta: 2 gener 2018].
↑ W.J.Thron ha demostrat que Pringsheim coneixia l'obra de Śleszyński abans de publicar el seu article; vegeu Thron, W. J. «Should the Pringsheim criterion be renamed the Śleszyński criterion?» (en anglès). Comm. Anal. Theory Contin. Fractions, 1, 1992, pàg. 13–20 [Consulta: 2 gener 2018].
↑ Lorentzen, L.; Waadeland, H. Continued Fractions: Convergence theory. Atlantic Press, 2008, p. 129.