Teorema de Bendixson-Dulac
En matemàtiques, el teorema de Bendixson-Dulac sobre sistemes dinàmics estableix que si existeix una funció (anomenada la funció Dulac) tal que l'expressió
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/Dulac.svg/220px-Dulac.svg.png)
té el mateix signe gairebé pertot en una regió simplement connex del pla, llavors el sistema autònom del pla
no té solucions periòdiques no-constants que es trobin completament dins de la regió.[1] «Gairebé pertot» significa a tot arreu excepte possiblement en un conjunt de mesura 0, com un punt o línia.
El teorema va ser establert per primera vegada pel matemàtic suec Ivar Bendixson el 1901 i posteriorment refinat pel matemàtic francès Henri Dulac el 1933 utilitzant el teorema de Green.
Demostració
modificaUtilitzant la prova per contradicció i sense perdre la generalitat, fem que hi hagi una funció tal que existeixi una funció tal que
a la regió simplement connexa . Sigui una trajectòria tancada del sistema autònom del pla en . Fem que es trobi a l'interior de . Llavors pel teorema de Green,
A causa del signe constant, la integral esquerra de la línia anterior ha d'avaluar un nombre positiu. Però al llarg de , i , l'integrand s'anul·la (és de fet és 0 a tot arreu). Això és una contradicció, de manera que no pot haver-hi aquesta trajectòria tancada ; la solució periòdica no existeix i es demostra el teorema.
Referències
modifica- ↑ Theodore Allen, Burton. Volterra Integral and Differential Equations (en anglès). Elsevier, 2005. ISBN 9780444517869.
Bibliografia
modifica- Cappell, S.E; Shaneson, J.L «Non-linear similarity» (en anglès). Ann. of Math, 113, 1981.
- Kuiper, N.H «The topology of the solutions of a linear differential equation on» (en anglès). Proc. Internat. Congress on Manifolds [Tokyo], 1973.
- Kuiper, N.H; Robbin, J.W «Topological classification of linear endomorphisms» (en anglès). Inv. Math., 19, 1973.