Teorema de Bendixson-Dulac

teorema

En matemàtiques, el teorema de Bendixson-Dulac sobre sistemes dinàmics estableix que si existeix una funció (anomenada la funció Dulac) tal que l'expressió

Segons el teorema de Dulac, qualsevol sistema autònom 2D amb una òrbita periòdica té una regió amb divergència positiva i negativa dins d'aquesta òrbita. Aquí representats per regions vermelles i verdes respectivament

té el mateix signe gairebé pertot en una regió simplement connex del pla, llavors el sistema autònom del pla

no té solucions periòdiques no-constants que es trobin completament dins de la regió.[1] «Gairebé pertot» significa a tot arreu excepte possiblement en un conjunt de mesura 0, com un punt o línia.

El teorema va ser establert per primera vegada pel matemàtic suec Ivar Bendixson el 1901 i posteriorment refinat pel matemàtic francès Henri Dulac el 1933 utilitzant el teorema de Green.

DemostracióModifica

Utilitzant la prova per contradicció i sense perdre la generalitat, fem que hi hagi una funció   tal que existeixi una funció tal que

 

a la regió simplement connexa   . Sigui   una trajectòria tancada del sistema autònom del pla en  . Fem que   es trobi a l'interior de  . Llavors pel teorema de Green,

 

A causa del signe constant, la integral esquerra de la línia anterior ha d'avaluar un nombre positiu. Però al llarg de  ,   i  , l'integrand s'anul·la (és de fet és 0 a tot arreu). Això és una contradicció, de manera que no pot haver-hi aquesta trajectòria tancada  ; la solució periòdica no existeix i es demostra el teorema.

ReferènciesModifica

  1. Theodore Allen, Burton. Volterra Integral and Differential Equations (en anglès). Elsevier, 2005. ISBN 9780444517869. 

BibliografiaModifica

  • Cappell, S.E; Shaneson, J.L «Non-linear similarity» (en anglès). Ann. of Math, 113, 1981.
  • Kuiper, N.H «The topology of the solutions of a linear differential equation on» (en anglès). Proc. Internat. Congress on Manifolds [Tokyo], 1973.
  • Kuiper, N.H; Robbin, J.W «Topological classification of linear endomorphisms» (en anglès). Inv. Math., 19, 1973.

Vegeu tambéModifica